Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. В силу первой половины теоремы 6.1 существуют отображения f: X -> X' и g: X’ X, накрывающие 1с; в силу второй половины теоремы произведение gf гомотопно 1:Х->-Х. Следовательно, для отображений f*:Hn(X', А) -*~ -у Нп (X, Л) и g* имеют место равенства g*f* = 1 = f*g*, так что эти отображения являются изоморфизмами, что и требовалось доказать.
Теперь мы покажем, что эта функция Нп (X, Л) от Л и С в точности совпадает с Ext" (С, Л). Пусть п = 0; последовательность Х\ —> Х0 —> С 0 точна справа, поэтому последовательность
§ 6. Резольвенты
121
точна слева. Она показывает, что е*: Нот (С, А) ^ Н° (X, А). Пусть теперь п > 0. Каждую n-кратную точную последовательность S можно рассматривать как резольвенту С, в которой за членом А степени п стоят только нули, что и показано в диаграмме
Теорема 6.4. Если С и А суть R-модули и г: X С — проективная резольвента С, то существует изоморфизм
?: Ext" (С, А) ^ Нп (X, А), п = 0,1,..., (6.3)
определенный для п> 0 следующим образом. Рассмотрим последовательность S ? € Ext" (С, А) как резольвенту модуля С и накроем 1с цепным преобразованием g : X S. Тогда gn : Хп ->• А — коцикл комплекса X. Положим
?(clsS) = clsgn ?Я"(Х, А). (6.4)
Этот изоморфизм ? естествен по А. Он также естествен по С в следующем смысле-, если у: С' С, г': X' -*¦ С' — проективная резольвента С' и f : X' -> X накрывает у, то
= П ¦ Ext" (С, А) -+ Нп (X', А). (6.5)
Доказательство. Сначала покажем, что отображение ? определено корректно. Поскольку gnd — 0, gn —коцикл, как и утверждалось. Заменим g любым другим цепным преобразованием g', накрывающим 1с [см. (6.2)]. По теореме 6.1 существует такая цепная гомотопия s, что gh — gn = д^ + s„-id. Но s* : Xn -*¦ 0, так что ^ = 0, gn — gn = s«-id = (—1)" 6s„-i; последнее по определению кограничного дифференциала [11(3.1)} в Horn (Х,А). Этим показано, что коциклы gn и g’n когомологичны, поэтому els gn = els gn. Теперь заменим S произвольной конгруэнтной точной последовательностью S'. Согласно описанию отношения конгруэнтности S == S', данному в предложении 5.2, достаточно рассмотреть случай, когда существует морфизм Г: S S', начинающийся и кончающийся 1. В этом случае любому преобразованию g: X S отвечает преобразование Tg : X S" с тем же самым коциклом gn = (Гg)n; следовательно, els gn — корректно определенная функция els S. Тем самым ? определено; свойства естественности этого отображения, сформулированные в теореме, получаются немедленно, при использовании подходящих произведений цепных преобразований.
Вместо прямого доказательства того, что ? — изоморфизм, мы построим обратное отображение. Пусть дана резольвентаХ; предста-
122
Гл. III. Расширения и резольвенты
0' 54
вим д : Хп -*¦ Xn_i как Хп -*¦ дХп ->• Хп_ь где х — вложение; при этом возникает n-кратная точная последовательность Sn (С, X), указанная в следующей диаграмме:
1Я+1
Sn(C,X): О-
hS'. 0-
-х0->с
Любой л-мерный цикл Хп А аннулирует dXn+i — Кег д" и поэтому может быть единственным способом представлен в виде hd' для некоторого h:dXn->-A. Построим произведение hSn гомоморфизма h и л-кратной точной последовательности S„, оно включается в нижнюю строку диаграммы. Определим отображение г): Нп (Х,А) ->• Ext" (С,Л), положив
т] els (hd') = els (hSn (С, X)), h:dXn-^A. (6.7)
В силу закона дистрибутивности, имеющего место в Ext, правая часть написанного равенства аддитивна по h. Следовательно, для доказательства корректности определения т) достаточно показать, что г] (els hd') = 0, если hd' есть кограница некоторой коцепи k : Хп-!-*- А. Но равенство Ад" = 8k = (—1)” kd — (—1)" knd’ означает, что h = ±&х и, значит, hSn = ±k‘x,Sn, где xSn = 0 по предложению 1.7. Следовательно, отображение т| определено корректно и является гомоморфизмом. Сравнение диаграмм (6.2) и (6.6) показывает, что г) = ?-1.
Эта теорема утверждает, что группы Ext” (С, А) могут быть вычислены с помощью любой проективной резольвенты е: X С; в частности, (6.5) показывает, как вычислить индуцированные гомоморфизмы V*: Ext" (С, Л) ->¦ Extn (С”, Л) с помощью резольвент.
С другой стороны, многие авторы определяют функтор Ext”, не используя длинные точные последовательности, полагая Ext” (С, А) = Нп (X, А) = Нп (Нот (X, А)). Таким путем получается функтор, ковариантный по Л, в то время как для у: С” С индуцированные отображения у*: Extn (С, Л) ->• Ext" (С', Л) определяются накрытием у до сравнения X" -*• X.
Другим следствием является «каноническая форма» для последовательностей относительно конгруэнтности.
Следствие 6.5. Если S 6 € Ext" (С, Л), л > 1, то существует последовательность Т ~ S вида Т: 0 Л -> Вп_i ->• ~*Вп-2-+------->B0-+C-+Q, в которой модулиВп-2, . . ., В0свободны.
§ 6. Резольвенты
123
Доказательство. Положим Т = hSn (С, X) для подходящего h : дХп -> А и произвольной свободной резольвенты X модуля С.
