Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
С (cls S) = (cls gn) е Нп (Нош (С,У)). (8.5)
Остальная часть доказательства, подобно определению ?, двойственна доказательству теоремы 6.4.
Мы можем суммировать результаты § 6 и § 8 в схеме
/r(Hom(ResPC, Л)) «Ext" (С, А) а*На (Нот(С, Res,Л)),
где ReSp С обозначает произвольную проективную резольвенту модуля С, Resj Л — произвольную инъективную корезоль-
венту модуля А. Симметричная формула Ext” (С,Л) а* Нп (Нот (ReSp С, Res/ А)) также может быть доказана (упражнение V.9.3).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Провести построение g в (8.4) и построить изоморфизм, обратный к ?.
2. Сформулировать и доказать лемму, двойственную лемме 6.2.
3. Для прямых сумм и произведений установить изоморфизмы Ext" (2 Си А) « \\ Ext" (Ct, A), Ext" (С, [] Xt) а [] Ext" (С, At).
§ 9. Две точные последовательности для Ext71
Произведение длинных точных последовательностей с короткой точной последовательностью Е от Л до С порождает связывающие гомоморфизмы
Е*: Exth (Л, G) —>Exth+1 (С, G), Еш: Exth(G, С)-> Exth+* (G, А).
Поскольку Е определяет Л и С, и Exth (Л, G) и Extft+1 (С, G) можно рассматривать как контравариантные функторы от коротких точных последовательностей Е. Более того, морфизм Г = (а, р, у): Е -*¦ Е' коротких точных последовательностей определяет конгруэнцию аЕ = Е‘у и, значит,
?*a* = Y*?'*:Exth^'» G) —» Exth+1 (С, G).
Этим устанавливается, что Е* есть естественное преобразование между функторами от Е, как и ?*. Указанные связывающие гомоморфизмы позволяют продолжить точные последовательности для Нот
§ 9. Две точные последовательности для Extn
131
и Ext = Ext1, найденные в (3.1) и в (3.2), на более высокие размер-^ ности. Отметим аналогично, что л-кратная точная последовательность S, начинающаяся с Л и кончающаяся С, является произведением п коротких точных последовательностей, следовательно, умножение на S порождает итерированные связывающие гомоморфизмы
S*: Exth (A,G) -»Exth+n (С, G), S*: Ext* (G,C) Exth+ri (G,A),
которые зависят только от класса конгруэнтности последовательности S.
Теорема 9.1. Если Е = (х,ог) : А » В -*> С — короткая точная последовательность модулей и G — какой-то модуль, то последовательности
Extn(С, G) Л Ext"(В, G)^Extn(A, G)^X
Л Extn+1 (С, G) —*• • • • (9.1)
и
• • • —> Ext'1 (G, Л) Ext” (G, В)^ЕхГ(С, C)^
Л Ext'*+1 (G* Л) —> ... (9.2)
точны. Эти последовательности начинаются слева членами 0 -> Horn (С, G) = Ext0 (С, G) и 0 —*¦ Нот (G, Л) соответственно
и продолжаются вправо для всех п — 0, 1,2, ... . Отображения
в этих последовательностях определены для аргументов
р 6 Ext” (С, G), и ? Ext” (В, G), г 6 Ext" (Л, G), . . . при помощи
умножения на х, а, Е следующим образом:
<т*р — ро, х*ю = <ох, ?*т = ( — 1)"т?, (9.3)
х*р' = хр\ <y«i' = ста', ?*т' = ?т': (9.4)
Знак в последнем из равенств (9.3) появляется потому, что ?*т = т? включает перестановку элемента ? степени 1 с элементом т степени п.
Доказательство. Сначала рассмотрим (9.2). Выберем любую свободную резольвенту X модуля G и применим точную когомологическую последовательность (теорема 11.4.5) для последовательности ? коэффициентов. Поскольку группы Нп (X, А) равны Ext"(G, Л) и т. д., получается точная последовательность с теми же членами, что и в (9.2). Для доказательства того, что отображения из этой последовательности получены с помощью умножения, как утверждается в (9.4), мы должны установить коммутатив-
9*
132
Гл. III. Расширения и резольвенты
ность диаграммы
Ext"(G, 4)-^Extn(G, В) Exta (G, С) Extn+1 (G, А)
It к It |t (9.5)
и* * о* * (-l)n+1e? V
Яа(Х, А)ДНЛ(Х, В)ЛНп(Х, С)----------%Нп*(Х,А),
в которой каждое отображение ? — это изоморфизм, построенный в теореме 6.4, а 8В — связывающий гомоморфизм, указанный в теореме 11.4.5. Поскольку ? естествен относительно гомоморфизмов х и а групп коэффициентов, первые два квадрата коммутативны. Доказательство коммутативности крайнего правого квадрата требует систематического использования определений всех встречающихся отображений и проводится следующим образом. Для п> О и S g g Ext" (G,C) рассмотрим Е ° S как резольвенту G и построим коммутативную диаграмму
Х:Х„+1 ЛХ„ —>Xn-iХо->G
1 М+1 fn
•> V ' f ' У
EoS:/ Лв->въ
1°
S: О
в которой f накрывает lt. По определению С
IE. (els S) = (els fn+l) 6 Нп+'(Х, А).
С другой стороны, of является цепным преобразованием, накрывающим 1G, так что ? (els S) = els (afn). Гомоморфизм 6? опреде-
ляется «обращением», бЕ = els х 1Ьа 1 els-
х-Чкг1 (afn) = х-Ч/,, = (-l)^^-1 (/„a) = (-lr+V1 (х/^0 =
из (II.4.12) и
