Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 3.1. Если А = (R, I) есть К-алгебра, С, А — левые A-модули, то абелева группа Ext” (С, Л) имеет
§ 3. Ext и Тог для алгебр
267
две К-модульные структуры, индуцированные К-модульными структурами в С и А соответственно. Эти две К-модульные структуры совпадают; если результирующий К-модуль обозначить Ext! (С, А), то Ext” становится бифунктором из категории А-модулей в категорию К-модулей, удовлетворяющим аксиомам, сформулированным в теореме II 1.10.1. Если D — третий А-модуль, то умножение является гомоморфизмом К-модулей
Ext\{А, D) ®KExt? (С, А) Exti+m(C, D). (3.1)
Доказательство. Первая К-модульная структура индуцируется в Extfl (С, А) как функторе аргумента С R-модульными эндоморфизмами р* : С-*- С, определенными для каждого k 6 К равенством р* {с) = kc; вторая структура индуцируется подобным же образом модулем А. Таким же образом можно С я А рассматривать как /?-К-бимодули; тогда ExtS (С, А) есть К-К-бимодуль, как показано в V.3.4. Основное заключается в доказательстве совпадения этих двух К-модульных структур.
Для п = 0 и /6 Ношл (С, А) первая К-модульная структура определяет kf как {kf) с = f (kc), а вторая — как (fk) с = k (fc). Поскольку f является К-модульным гомоморфизмом, результаты совпадают.
При п > 0 возьмем длинную точную последовательность S 6 € ExtS (С, А). Умножение на k — это морфизм р* : S -> S последовательностей R-модулей, который совпадает в левом конце с умножением в А на k, а в правом конце — с умножением в С на k. По предложению II 1.5.1 p*S = Spk, и поэтому структуры совпадают. Иначе говоря: если X — проективная резольвента модуля С и ExtH (С, А) вычисляется как Я" (Нотл(Х, А)), то К-модульная структура, подобная функторной структуре, подсчитывается из структур в X или в Л, а последние структуры, как известно, совпадают в Ношл (X, А).
Любой R-модульный гомоморфизм а: А -*¦ А" коммутирует с эндоморфизмом ph, так что индуцированное отображение a# : Ext? (С, Л)Ext? (С,Л*) является К-модульным гомоморфизмом и Ext71 (С,Л) есть бифунктор в категорию К-модулей. Связывающие гомоморфизмы также являются К-модульными гомоморфизмами, а умножение Ионеды К-билинейно, откуда вытекает (3.1).
Рассмотрение периодических произведений проводится аналогично.
Предложение 3.2. Если А = (/?, I) и GA, АС являются А-модулями, то для каждого n~>0j абелева группа Tor? (G, С) имеет две К-модульные структуры, индуцированные К-модульными
268
Гл. VII. Размерность
структурами в G и С соответственно. Эти две К-модульные структуры совпадают; если результирующий К-модуль обозначить Tor? (G, С), то Тог? — ковариантный бифунктор из категории К-модулей в категорию К-модулей, удовлетворяющий аксиомам, сформулированным в теореме V.8.5.
Доказательство. При п — 0, kg ® с = g ® kc, так что две К-модульные структуры совпадают. Мы оставляем читателю проведение доказательства для п> 0 (использовать V.7.1).
Пусть теперь Л и 2 — две К-алгебры (пока неградуирован-ные). В этом случае Л-2-бимодуль аАх— это такой бимодуль над кольцами А, Б, что две индуцированные К-модульные структуры совпадают. Они индуцируют идентичные К-модульные структуры в Нотл-z (С, А). Соответствующие К-модули Ext^_s (С, А) для п > 0 можно было бы определить как классы конгруэнтности длинных точных последовательностей бимодулей, идущих от Л к С через п промежуточных шагов, как и раньше. Те же функторы можно получить, превратив Л и С в левые А® 2ор-модули и определив Ext”_s как Ext”A(&2,oP). Аналогично бимодули ^ВА, ACS ЯВЛЯЮТСЯ односторонними модулями ?(Лф20Р) ; (Л®2ор)^> и поэтому существуют тензорное произведение В ® С и периодические
произведения Tor(A®s°p)(B, С), являющиеся К-модулями. Мы также будем записывать эти произведения как TorA_s (В, С). Теперь покажем, что Ext для левых A-модулей иногда сводится к А-бимодульному Ext.
Теорема 3.3. Пусть А является К-алгеброй, и пусть С и А являются левыми К-модулями. Предположим, что К и С — проективные К-модули (например, это условие автоматически выполняется в том случае, когда К—поле). Тогда сопряженная ассоциативность индуцирует естественный изоморфизм К-модулей
т]* : Extl (С, А) ^ ExtX_A (А, Ношк (С, A)), n = 0, 1,- (3.2)
При п = 0, Exti (С, Л) = Ношл (С,А) = Ношл(А ®л С, А) и г] есть обычная сопряженная ассоциативность.
В (3.2) Нотк (С,Л) — это левый A-модуль со структурой, унаследованной от левой А-модульной структуры модуля Л, и правый A-модуль со структурой, унаследованной от левой А-модуль-ной структуры контравариантного аргумента С.
Доказательство. Возьмем свободную резольвенту А-А-бимодуля е: X -v А. Как свободный бимодуль каждый Х„ имеет вид Xn = A ® Fn ® А для некоторого свободного К-модуля Fn. Далее, проективный модуль является прямым слагаемым сво-
§ 3. Ext и Тог для алгебр
269
бодного модуля, поэтому тензорное произведение двух проективных К-модулей есть проективный К-модуль. Поскольку мы предположили, что Л и С — проективные К-модули, Л ® Fn и Fn ® С— проективные К-модули, так что по предложению VI.8.1 Хп = = (Л ® Fn) ® Л — проективный правый A-модуль и Х„ ®А С ^ ^ A ® (Fn ® С) — проективный левый А-модуль.
