Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 5.6 *). Если алгебра А над полем F имеет конечную размерность как векторное пространство над F, то А сепарабельна тогда и только тогда, когда bidim А = 0.
Доказательство. Предположим сначала, что алгебра Л сепарабельна. В силу структурной теоремы существует такое поле L, что AL т= 2tx . . . x2m, где каждая 2г — полная матричная алгебра над L. По предложению 5.5, bidim 2t = 0, следовательно, по предложению 5.2 bidim AL = 0, откуда по предложению 5.4 bidim Л = 0.
Обратно, предположим, что bidim Л = 0. Для каждого поля расширения L гэ F мы хотим доказать, что каждый левый AL-модуль С проективен. Пусть В — другой левый AL-модуль. В силу сопряженной ассоциативности (теорема 3.3)
Ext^ (С, В) 2? Ext^r_AL (AL, Нот*. (С, В)).
Но из bidim А = 0 следует bidim AL = 0 по предложению 5.3, так что AL — проективный бимодуль, и Ext справа исчезает. Значит, Ext1 (С, В) = 0 для любого В, что означает проективность модуля С.
*) Розенберг и Зелинский [1956] показали, что можно отбросить предположение о конечномерности Л над полем F.— Прим. перев.
§ 6. Градуированные сизигии
277
Заметим, что доказательство было в общем элементарно, за исключением использования Ext1 через сопряженную ассоциативность для перехода от бимодуля AL к левым модулям.
Действие операций прямого произведения и расширения основного кольца на функтор Ext (Л, —) в более общем случае, когда bidim Л О, будет изучаться в гл. X.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Построить прямое произведение двух ?>G-алгебр (над одним и тем же К) так, чтобы оно было коуниверсально.
2. Доказать для алгебр Г и 2 над К, что (Г® 2)я as Гя <g) (ГХ2)неГяХ2я и (ГХ 2)°Р е Г°РХ 2°Р.
3. (При расширении основного кольца алгебра может не остаться полупростой.) Пусть р — простое число, Zp — поле вычетов по модулю р, L — Zp (х) — поле всех рациональных функций над Zp от одного неизвестного х и F — подполе Zp (хр). Тогда L — коммутативная алгебра над F; пусть Л есть /'-алгебра, изоморфная алгебре L относительно соответствия х -+• и 6 Л. Показать, что алгебра Л полупроста, а алгебра AL не полу-проста. (Если М — идеал в AL, порожденный элементом и — то эпиморфизм Al -*¦ М, при котором 1 -+• и — х, не расщепляется.)
§ 6. Градуированные сизигии
Пусть Р = F [хи ¦ ¦ •, Хп] — полиномиальная алгебра над полем F с п неизвестными Xi, каждое из которых имеет степень 1. Следствие 4.4 показывает, что любой P-модуль А имеет проективную резольвенту
О <-А<~Х0<-------^-Хп<-0,
которая останавливается на члене Х„. В теореме Гильберта о сизигиях утверждается, что градуированный P-модуль А имеет такую резольвенту, в которой Xk — свободные градуированные модули, оканчивающуюся на том же месте. Мы не можем вывести теорему о сизигиях из нашего тесно связанного с ней предыдущего результата, так как мы не знаем, какой проективный модуль должен быть свободным.
В этом параграфе мы рассматриваем Р как внутренне градуированную алгебру над F; однородные элементы степени т являются, таким образом, обычными однородными многочленами этой степени. Мы будем иметь дело с категорией всех внутренне градуированных P-модулей, морфизмами которой служат все Р-модуль-ные гомоморфизмы степени 0; ядра и коядра таких гомоморфизмов снова являются внутренне градуированными P-модулями. Каждый внутренне градуированный P-модуль А = 2Ап есть также негра-
278
Гл. VII. Размерность
дуированный модуль над неградуированной алгеброй Р. Если G — второй такой модуль, то мы используем символы G®pA и Torf (G, Л) для обозначения обычных тензорного и периодического произведений, построенных без учета градуировки. Внутренняя градуировка имеет те преимущества, что она приспособлена к классическому понятию кольца многочленов и делает возможным использование обычного периодического умножения. Градуировка периодического произведения будет введена в Х.8, где она становится естественной.
Поле коэффициентов F — это градуированный (тривиально) P-модуль относительно обычного действия xtf = 0 для / ? F.
Лемма 6.1. Если А — градуированный Р-модуль, для которого Л®РР = 0, то А = 0.
Доказательство. Пусть J = (хи . . хп) — идеал всех многочленов из Р со свободным членом 0. Точная последовательность P-модулей J Р -» F порождает точную последовательность A(g)pJ -v А®рР -» A®PF = 0, так что Л <g) PJ -» -» Л ® РР = А. Это означает, что каждый элемент а ? Л лежит в AJ. Если Л ф 0, то выберем ненулевой элемент а наименьшей возможной степени k. Каждое произведение в AJ = А тогда имеет степень по крайней мере на единицу больше, в противоречии с предположением А Ф 0.
Заметим, что это доказательство не годится для Z-градуированных модулей, где могли бы быть элементы произвольной отрицательной степени.
Лемма 6.2. Градуированный Р-модуль А, для которого Torf (A,F) = 0, свободен.
Доказательство. Поскольку модуль Л градуирован, A®PF — градуированное векторное пространство над F, порожденное однородными элементами а ® 1. Выберем множество S таких однородных элементов, что элементы s ?g) 1 образуют базис этого векторного пространства, и построим свободный градуированный P-модуль М на множестве 5. Тождественное отображение 5 -»-S cz Л определяет гомоморфизм т): М -+¦ А степени нуль; в силу выбора S отображение
