Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Перемножением указанных гомоморфизмов можно определить различные другие естественные гомоморфизмы. Например, вычислительный гомоморфизм
е: Нотл(Л, В) ® А—>В, (аА,аВ) (8.11)
задается для /: А -> В формулой е (f ® а) — / (а), т. е. вычислением значения функции / в а. Его можно записать как произведение
Ногпл (А, В) ® А—> Нотл (А, В) ® Нотл (А, А) —> Ношл (Л, В) —> В
отображений (8.5), (8.9) и (8.5). Было бы интересно узнать все различные тождества, справедливые для произведений естественных гомоморфизмов (8.1) — (8.10), описанных выше.
§ 8. Тождества для Нот и (g)
253
Как приложение рассмотрим свободные и проективные А-моду-ли над градуированной алгеброй А. Как обычно, левый А-модуль Р проективен, если каждый эпиморфизм а: В -» С левых А-моду-лей степени 0 индуцирует эпиморфизм homA (Р, В) -» homA (Р, С). Свободный A-модуль с градуированным множеством S образующих — это A-модуль С, содержащий S и характеризующийся с точностью до изоморфизма обычным свойством (предложение 1.5.1); каждое отображение множеств 5 —> АЛ степени нуль однозначно продолжается до А-модульного гомоморфизма С —*¦ А; как всегда, свободный модуль проективен. Сама алгебра А является свободным A-модулем с одним образующим 1 степени 0; свободный A-модуль с произвольным множеством 5 образующих может быть построен как прямая сумма AS = ^jAs, где s ? S. Здесь As обозначает левый A-модуль с элементами Xs степени deg (Xs) — deg Я, + + deg s. Заметим, что AS = A ® KS, где KS = — свобод-
ный градуированный К-модуль с множеством образующих S. Другими словами, каждый свободный градуированный К-модуль F порождает свободный A-модуль A <g) F. Аналогично, имеет место
Предл о ж е н и е 8.1. Если М — проективный градуированный К-модуль, а А — градуированная К-алгебра, то А ® М является проективным А-модулем.
Доказательство, как и для следствия V.3.3, вытекает из сопряженной ассоциативности
homA (А ® М, В) a* hom (М, НотА (А, В)) = hom (М, В). Исходя из той же ассоциативности, докажем более общее
Предложение 8.2. Определим для каждого градуированного К-модуля М гомоморфизм е: М ->¦ А 0 М градуированных К-модулей, положив е (т) = 1 ® т. Этот гомоморфизм е универсален-. для каждого левого А-моду ля А каждый гомоморфизм g\ М —> А градуированных К-модулей степени 0 можно представить единственным образом в виде g=ye, где у: А ® М ~*-А есть А-модульный гомоморфизм степени 0.
Доказательство. Заметим, что для у должно быть выполнено равенство у (X ® т) = Kg (т.) 6 А; правая часть этой •формулы К-билинейна по X и т и, значит, однозначно определяет у.
Для «универсального» в смысле этого предложения гомоморфизма е мы будем также говорить, что А ® М — относительно •свободный A-модуль, порожденный градуированным К-модулем М, или что А ® М (А, К),-свободен. Аналогично для двух градуированных алгебр А и 2 каждый модуль А ® М ® 2 будет <А-2, К)-относительно свободным бимодулем; если модуль М
254
Гл. VI. Типы алгебр
будет К-проективным, то этот бимодуль будет Л-2-проективным; если М будет К-свободным, то бимодуль будет Л-2-свободным. В теореме Х.7.4 мы используем
Предложение 8.3. Если В и В' — свободные левые Л-и А'-модули конечного типа, то Нот- <g> -перестановка является естественным изоморфизмом
? : Ношл (В, А) ® НошЛ' (В', А’) о*
=^НотЛ®А’(В ® В’, А® А'), (аА, а>А').
Доказательство. С помощью прямых сумм все сводится к случаю В = А, В' = Л'; в этом случае отображение ? является тождественным: А ® А' а* А ® А'.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Дать прямое доказательство внутренней четверной перестановки, т. е. показать, что отображение т, указанное в тексте, корректно определено и обратимо.
2. Вывести внутреннюю четверную перестановку путем повторных применений ассоциативности (8.3) и изоморфизма А ® КВ es В
3. Для модулей ЛС2 и лЛа описать бимодульную структуру в Нотл (С, А). (Обратить внимание на знаки!)
4. Описать поведение произведения (8.9) при отображении В -*¦ В'.
5. Показать, что гомоморфизм ? из (8.10) может иметь ненулевое ядро. (Указание: использовать конечные циклические группы.)
6. Построить естественный гомоморфизм
A НотЛ {В, С) —> Нотл (HomQ (А, В), С).
§ 9. Коалгебры и алгебры Хопфа
Формальная дуализация понятия алгебры приводит к понятию коалгебры. Коалгебры недавно приобрели большое значение в связи с множеством топологических приложений; например, сингулярный комплекс топологического пространства оказывается коалгеб-рой.
Градуированная коалгебра W над коммутативным основным кольцом К — это градуированный К-модуль W с такими двумя гомоморфизмами i]у. W -+W ® W и г: W К степени 0 градуированных К-модулей, что диаграммы
W®W W®W Л W Л W®W
§ 9. Коалгебры и алгебры Хопфа
255
коммутативны. Первая диаграмма задает ассоциативный закон для диагонального отображения (или коумножения) ip; во второй диаграмме утверждается, что е — коединица. Коалгебры, не являющиеся ассоциативными или не имеющие коединицы, иногда полезны, но в этой книге они не встретятся. Гомоморфизм ц : W -> W' коал-гебр — это такой К-модульный гомоморфизм степени О, что диаграммы
