Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Р'= КР' ~К[хп],
?'= E' = EP'[Unh
Тогда Р = Р" <g) Р\ Е" и Е' являются DG-алгебрами над Р" и Р' соответственно, тензорное произведение Е"®Е' которых есть Р"®Р'-алгебра, и в силу (VI.4.6) имеется изоморфизм для DG-алгебр над Р. Кроме того, е = е ® е' и Л = т]" (g) т)'. Для п = 1 результат стягивающей гомотопии s': Е'0-+ Е[ на многочлене / == 2аг^г степени k от х = хп, at ? К, может быть определен следующим образом:
s' (а0 + а{Х+ ... + akxh) = (at + a2x+ ... + akxh~x) и;
тогда ds'f = f — а0 = / — т\'e'f и s'dfu ~ /«, так что s': 1 ~ т^'е'. Отметим, в частности, что s', будучи гомоморфизмом К-модулей, не является гомоморфизмом Р-модулей.
Теперь предположим по индукции, что существует К-цепная гомотопия s": 1 ~ т]"е" : Е"-*¦ Е". Поскольку мы уже имеем s', предложение V.9.1 дает К-цепную гомотопию s на Е = Е" ® Е\ ! и индукция тем самым закончена.
Резольвента (2.1) известна как резольвента Косуля; она впервые встретилась в явном виде у Косуля [1950] при изучении алгебр Ли.
Теорема 2.2. Если Р — К [хи . . ., хп] — неградуирован-ная полиномиальная алгебра над коммутативным кольцом К с п неизвестными Xi, I: К ->¦ Р — вложение и кольцо К каким-то
§ 2. Размерности в полиномиальных кольцах
265
образом превращено в Р-модуль, причем /К = К, то
h.dimpK — n, h.dimp(xlt ... , хп) — п — 1, (2.2)
Extp (К, К) — прямая сумма (т, п т) копий кольца К, а Тогр (К,| К) = {Тогт (К, К)} — внешняя алгебра над К, имеющая п образующих в Tori (К, К).
Доказательство. Предположим сначала, что К — это P-модуль еК. Резольвента Косуля (2.1) останавливается на степени п. Следовательно, гомологическая размерность не больше п.
Мы можем вычислить Тогр (К, К) с помощью резольвенты
(2.1) как гомологию комплекса
К ®рЕр = К <8)р(Р <8> ?k[«i, • • •, м„]) =
= (К <8>РР) (8) ?к = К <8) Ek = Ek[Ui, .. .,ип]
с граничным гомоморфизмом д (k 0 иг) — k 0 xt. Однако при указанных изоморфизмах k 0 хi-*-(k 0 Pxt) 0 1 ks (xt) 0 1=0, поскольку по определению е (х;) = 0. Следовательно, дифференциал комплекса равен нулю, так что Тогя (К, К) является внешней алгеброй над К с п образующими. В частности, Тог? (К, К) ее К Ф 0, и поэтому h. dimP К равно в точности п. Аналогично ЕхрР (К, К) вычисляется с помощью резольвенты как когомология комплекса
Ношр (ЕР, К) е* Ношр (Р 0 Ек, К) ^
ееНотк(Ек, НошР(Р, К)^Ношк (Ек, К)).
Кограница этого комплекса опять равна нулю, так что Ext™ (К,К) е* Ношк (Ет, К) является прямой суммой (т, п — т) копий К, как и утверждалось в теореме.
Теперь рассмотрим идеал J = (хи . . ., хп) — Кег е. Поскольку образ отображения д: Et -*-Е0= Р в точности равен J, резольвента Косуля (2.1) порождает резольвенту]
0 +- j Ei <---------<- Еп +- 0
идеала J с модулем Ет+± в «размерности» т. Следовательно, Ext™ (J, K)^HomK (Ет+1, К) при т> 0, так что Ext”-1 (J,K) = = К^=0и / имеет размерность точно п — 1, как и утверждалось.
Пусть теперь К имеет какую-то другую Р-модульную структуру, задаваемую операторами p°k, р 6 Р- Условие jK = К означает, что эта Р-модульная структура при «отступлении» вдоль вложения 1: К -> Р, I (k) = kip, становится исходной К-модульной структурой в К; другими словами, k'°k — k'k. Отображение
266
Гл. VII. Размерность
Р (р) = Р ° 1к определяет гомоморфизм алгебр р: Р -*¦ К, потому что р о k = р о (1к k) = р (р) о* k = р (р) к. Другими словами, К становится P-модулем РК при «отступлении» вдоль р. Но положим a-i = pxi 6 К и x't — Xi — at. Тогда Р можно рассматривать как полиномиальную алгебру К [x'v . . ., хп\ и рх} = 0, так что р — соответствующее пополнение, и применимы предыдущие рассуждения.
В заключение отметим, что Тогр (К, К) = Ек Ыи • • «п!
оказывается не только градуированным P-модулем, как это должно быть в силу общих положений, но на самом деле является градуированной алгеброй, а именно внешней алгеброй, построенной на п циклах (гомологических классах) мг из Tort. В появлении
этой структуры алгебры есть нечто таинственное. Ведь в .силу
наших основных результатов мы можем и на самом деле вычисляем Тог? (К, К) с помощью любой; удобной резольвенты. «Случайно» DG-модуль Е, который мы использовали как резольвенту, оказался в действительности DG-алгеброй, так что Тогр (К, К) унаследовал «случайно» структуру алгебры. В гл. VIII мы покажем, что эта структура появляется, по существу, из того обстоятельства, что К (как P-модуль) есть Р-алгебра; действительно, периодическое произведение двух алгебр есть алгебра.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислить Тогр (/,К) и Extp (/,К) для J = (xt, . . ., д^).
2. Показать, что h. dimp (xlt . . ., х\) = k — 1.
3. Исследовать теорему 2.2 в том случае, когда К — тело.
§ 3. Ext и Тог для алгебр
Если Л — (неградуированная!) К-алгебра, то обычные функторы ExtA и Тогл можно рассматривать как функторы, значениями которых являются К-модули. Для этой цели мы, как в VI. 1, рассмотрим К-алгебру Л как сложный объект Л = (R, /), состоящий из кольца R и кольцевого гомоморфизма I: К-+ R, для которого (Ik) г = г (Ik), т. е. / (К) лежит в центре R. Левый Л-модуль [определенный, скажем, как в (VI.5.2) и (VI.5.3)] — это как раз левый /^-модуль Л; при «отступлении» вдоль I: К-+ R он становится К-модулем и, значит, #-К-бимодулем лЛк. Гомоморфизм а: А А" левых Л-модулей определяется как гомоморфизм левых Я-модулей и автоматически является гомоморфизмом #-К-бимодулей.
