Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
г) <g> 1: М <g>pF^i A (g)PF (6.1)
— изоморфизм. Ядро В и коядро С гомоморфизма т] составляют точную последовательность градуированных Р-модулей
о->в->мДл->с->о
с однородными гомоморфизмами степени 0 (хотя это обстоятельство нам не понадобится). Применение <g> PF к правой части этой после-
§ 6. Градуированные сизигии
279
довательности дает точную последовательность M<g>pF—>A<gipF-^C<g)pF.
По (6.1) C®PF = 0, так что С = 0 в силу предыдущей леммы. К оставшейся короткой точной последовательности В >-> М А применим фундаментальную точную последовательность для периодического умножения (на F)
О —> Torf (A,F)-*B®pF->M®PF^>A®pF-> О,
где нуль слева стоит вместо группы Tori (M,F), тривиальной, поскольку модуль М свободен. Опять-таки в силу (6.1) , B(g>PF ^ Torf (A, F) и по предположению равно нулю. Следовательно, В ® PF = 0, так что В = 0 в силу повторного применения предыдущей леммы. Наша точная последовательность свелась к последовательности 0 -> М -> А ->-0, устанавливающей изоморфность А свободному модулю М.
Предложение 6.3. Для каждого градуированного Р-модуля А существует такой свободный градуированный Р -модуль М и такой эпиморфизм гу. М -у А степени 0, что для каждого эпиморфизма г : Хо А свободного модуля Х0 существует коммутативная диаграмма
МЛ А->0
> II
х0Лл-> о
с мономорфизмом р. Ядро т] содержится в JM; этими свойствами пара (М, т]) определена однозначно с точностью до изоморфизма.
Доказательство. Построим т] так, чтобы tj® 1 было изоморфизмом, указанным в (6.1); первая часть предшествующего доказательства показывает, что rj (М) = А. Обычное сравнение дает гомоморфизм Р; пусть В — ядро р. Построим диаграмму
О—*-В ®pF —уМ ®pF—?X0 &)pF
A <2}PF t
где нуль слева обозначает группу Torf (Х0, F), равную нулю, так как- модуль Х0 свободен. Строка этой диаграммы точна, а произведение, отмеченное пунктирной стрелкой,— это изоморфизм
(6.1); следовательно, B®PF = 0, откуда В = 0 по лемме 6.1. Единственность устанавливается аналогично.
280
Гл. VII. Размерность
Ядро А1 эпиморфизма г] : М -у А можно снова записать как образ Мх -*~Ai; итерация приводит к однозначно определенной свободной резольвенте • • • -*-Мг-*-Mi-*-М-+-А-*-0, называемой минимальной резольвентой. О ее применениях см. работу Адамса ([I960], стр. 28); общее рассмотрение у Эйленберга [1956].
Теорема 6.4. (Теорема Гильберта о сизигиях.) Если А — градуированный модуль над градуированным полиномиальным кольцом Р — F 1хи . . ., хп] от п переменных степени 1 над полем F, то в любой точной последовательности
Т: 0ч- А<— Х0-*- • • • -k-Xn_i ч- Ап <— 0
градуированных P-модулей, в которой модули Xt свободны, п-й модуль Ап тако/се свободен.
Подобная последовательность может быть всегда построена, если в качестве Х0 взять свободный модуль на множестве однородных элементов из А, в качестве Xt взять аналогичный модуль с образующими из Кег [Х0 ->Л] и т. д. При этом h.dimP.A<n.
Доказательство. Поскольку модули Х{ свободны, связывающий гомоморфизм данной точной последовательности Т устанавливает изоморфизм Tor?+i (A,F) з* Torf (An,F). Но резольвента Косуля для F показывает, что h.dimp FC п, так что Tor?+i (A, F) = 0. Тогда по лемме 6.2 модуль Ап свободен, что и утверждалось. Любой идеал J кольца Р является подмодулем модуля Р; как в VI.3, он называется однородным идеалом, если это градуированный подмодуль, т. е. если J порождается своими однородными элементами.
Следствие 6.5. Если J — однородный идеал в Р, то в любой точной последовательности 0 J <— Х0 <— • • • <— X„-2 <—Ап-1 <—
0 градуированных Р-модулей со свободными модулями Xt модуль Ал—i также свободен.
Доказательство. Из этого следствия вытекает наш предыдущий результат о том, что h.dim РУ < n — 1. Как и в том случае, следствие доказывается перемножением заданной последовательности и короткой точной последовательности PIJ «- Р *< J и применением теоремы о сизигиях к градуированному фактор-модулю P/J.
Замечание. Теорема Гильберта была доказана (Гильберт [1890]) для теории инвариантов, специально для модулей форм, инвариантных относительно некоторой группы линейных преобразований; в работе Гильберта (стр. 504—508) содержится вычисление, равносильное резольвенте Косуля поля F. Его доказательство было упрощено Грёбнером [1949]; в нашем доказательстве мы следовали Картану [1952], который первый применил гомологические методы и установил гораздо более общую теорему, верную также для локальных колец (см. ниже § 7).
§ 7. Локальные кольца
28 L
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для кольца P — F [х, у, г) построить неградуированиый Р-модуль,. который не имеет внутренней градуировки, совместимой с заданной Р-модульной структурой.
2. Показать, что теорема Гильберта о сизигиях справедлива при замене Р на любое внутренне градуированное кольцо G, для которого есть поле.
