Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 107

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 227 >> Следующая

w-\w®w W Л К
|| (9-2)
гХг®г, г-^к
коммутативны. Если следующая диаграмма коммутативна
W X W® W
[| It %(W1®WZ) = ( — l)teg wi aeg v>2 Wz ф Wit (9.3)
W X W ® W,
то мы назовем градуированную коалгебру W коммутативной. Как обычно, наше определение включает частные случаи коалгебр (№ тривиально градуирована) и градуированных коколец (К = Z). Можно также определить DG-коалгебры с помощью диаграммы (9.1) для DG-K-модулей W. В частности, основное кольцо К является (тривиально градуированной) К-коалгеброй с диагональным отображением К -> К ® К в качестве канонического изоморфизма и коединицей К->К в качестве тождественного изоморфизма.
Если W и W' — градуированные коалгебры, то их тензорное произведение W ® W' (как градуированных модулей) является градуированной коалгеброй с диагональным отображением, равным произведению
W ® W' W ® W ® W ® W —-% (W ® W) ® {W® W'), (9-4)
где т определяется как в (9.3), и с коединицей е <g) е' : W <g> W -> ^К ® К = К.
Для полноты определим также комодули, дуализируя диаграммное определение (5.1) модуля над алгеброй. Градуированный левый W-комодуль над градуированной коалгеброй W — это градуированный К-модуль С, снабженный таким гомоморфизмом ср: С -> W ® С степени нуль, что диаграммы
С ?—» W ба С с=К®С
|ф |д®ф ф | || (9.5)
г ® с к ® с ¦
коммутативны.
256
Гл. VI. Типы алгебр
Градуированная алгебра Хопфа V — это градуированный К-модуль V = {Уп}, который относительно этой градуировки является одновременно градуированной алгеброй с отображением умножения я: V ® V V, единицей / : К ->• V и градуированной коалгеброй для диагонали 1|з и коединиды е, причем выполнены условия:
(i) / : К -> V — гомоморфизм градуированных коалгебр;
(ii) е : V -> К — гомоморфизм градуированных алгебр;
(iii) я : V <g> V -*¦ V — гомоморфизм градуированных коалгебр.
В условии (i) утверждается, что ip (1) = 1 ® 1 и что б/ : К ->
->К равняется тождественному гомоморфизму. В условии (ii) утверждается, что V — пополненная алгебра с коединидей в качестве пополняющего отображения. В условии (iii) утверждается ввиду определения (9.4), что следующая диаграмма коммутативна:
V®V К® У® V®V^? V® V® V\®V
|,я (9.6)
у ----------------------------------------------------*-^ VQV,
т здесь определяется, как в (9.3). Но (я ® я) (1 ® т ® 1) — это
отображение умножения в тензорном произведении V ® V алгебр, так что эта диаграмма равносильна условию
(iii') ip: V -*-V ® V есть гомоморфизм градуированных алгебр.
Значит, условия (iii) и (iii') эквивалентны.
Гомоморфизмом v : V -> V' алгебр Хопфа называется К-модуль-ный гомоморфизм, который одновременно является гомоморфизмом алгебр и коалгебр.
Пусть V и V' — градуированные алгебры Хопфа над К. Можно показать формальными рассуждениями, использующими лишь определения, что V ® V’ — это градуированная алгебра Хопфа над К, градуировка которой задается, как в тензорном произведении градуированных модулей, с умножением и единицей, определенными для тензорного произведения алгебр, и с коумноже-нием и коединидей, определенными в (9.4) для тензорного произведения коалгебр.
Теперь приведем несколько примеров алгебр Хопфа.
Основное кольцо К — это (тривиально) градуированная алгебра Хопфа.
Пусть Е — Ек 1и] — внешняя алгебра с одним символом и степени 1. Поскольку Е — свободная строго коммутативная алгебра с одним образующим и, существуют однозначно определенные гомоморфизмы е : Е К, г|з :?-»-? ® ? алгебр, для которых
е (и) = 0 t|) (и) = и ® 1 + 1 ® и-
(9.7)
§ 9. Коалгебры и алгебры Хопфа
257
Мы утверждаем, что алгебра Е, наделенная этой структурой, есть алгебра Хопфа. Для того чтобы доказать, что Ё — коалгебра, отметим следующее: оба гомоморфизма, (ip®l)if) и (1 ® if) i]>, могут быть охарактеризованы как единственный гомоморфизм алгебр тр Е Е ® Е ® Е, для которого ri («) = и ® 1 ® 1 + + 1 ® « ® 1 + 1 ®1® и; аналогично доказывается, что (е ® 1) "ф— = 1 = (1 ® е) ip. Условие (i) для алгебры Хопфа выполняется тривиальным образом, а выполнение условий (ii) и (iii') следует из определений е и ip.
Пусть Р = Рк [х\ — полиномиальная алгебра с одним символом х четной степени. Таким же образом, как и раньше, доказывается, что Р — алгебра Хопфа относительно отображений
е (х) = 0, (х) — х <g) 1 + 1 ® х. (9.8)
Поскольку 1)з — гомоморфизм алгебр, "ф (хп) = (г|эх)п, так что
(хп) = 2 (Р- Я) хр® хч, (р, q) = (р + q) M{p\q\). (9.9)
p+g=n
Используя тензорные произведения алгебр Хопфа, получаем, что внешняя алгебра ?к1«ь • • •, «п! с образующими и* степени 1 и полиномиальная алгебра Рк Ui, ¦ . хп] с образующими xt четных степеней являются алгебрами Хопфа.
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed