Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 108

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 227 >> Следующая

Групповое кольцо Z (П) произвольной мультипликативной группы является тривиально градуированной алгеброй Хопфа над Z, так как если х 6 П, то отображение {х) = х ® х группы П в Z (II)®Z (П) переводит 1 в 1 и произведение в произведение и, значит, (предложение IV. 1.1) продолжается до кольцевого гомоморфизма ip: Z (П) Z (П) ® Z (П). Вместе с обычным пополнением е: Z (П) -> Z этот гомоморфизм превращает Z (П) в коалгебру [условие (9.1)] и алгебру . Хопфа с единицей /: Z -> Z (П), являющейся вложением. Любой гомоморфизм групп ?: П -> П' индуцирует гомоморфизм Z (С) : Z (П) -> Z (ГГ) алгебр Хопфа.
Для произвольного коммутативного кольца К групповая алгебра К(П) определяется как К-алгебра K®zZ (П); эквивалентно, групповая алгебра — это свободный К-модуль, свободными образующими которого являются элементы группы П, а умножение определяется умножением в П. Она является алгеброй Хопфа с коумножением i|> (х) = х ® х.
Теперь рассмотрим левые модули А, В я С над градуированной алгеброй Хопфа V, т. е. модули над градуированной алгеброй V. Тензорное произведение А ®к В является левым (У® ^-модулем, но становится левым У-модулем при «отступлении» вдоль диагонали яр : V V ® V; мы запишем этот модуль так: А ® В = = Ч'Й ®кВ). Закон ассоциативности (9.1) для if> устанавливает обычный закон ассоциативности А ® (В ® С) = (А ® В) ® С для
17-353
258
Гл. VI. Типы алгебр
этого тензорного произведения. Более того, основное кольцо К становится левым V-модулем еК при отступлении вдоль е : V -*¦ К, а правило (е <g) 1) ч]э — 1 = (1 ® е) if> устанавливает изоморфизм К <& A A А ® К. Используя эти два изоморфизма, параллельные изоморфизмам (2.3) и (2.5), можно определить алгебру над градуированной алгеброй Хопфа V в точности тем же путем, как определялись алгебры над самим кольцом К. Если коумно-жение коммутативно (9.3), то можно получить изоморфизм т: А ® В ^ В ® А для К-модулей и определить в этом случае тензорное произведение алгебр над V.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать для К-модуля М, что тензорная алгебра Т (М) имеет единственную структуру алгебры Хопфа, при которой i|) (m) = т & 1 +1 ® т.
2. Пусть Л — градуированная К-алгебра, в которой каждый модуль Ад конечно порожден и проективен как К-модуль. Показать, что дуальная алгебра Л* является коалгеброй с диагональным отображением, индуцированным я* (использовать предложение V.4.3). При аналогичных условиях показать, что алгебра, дуальная к алгебре Хопфа, есть алгебра Хопфа.
3. Охарактеризовать групповую алгебру К (П) с помощью аналога предложения IV. 1.1.
Замечания. Первоначально слова «лииейиая ассоциативная алгебра» обозначали алгебру над полем К, имеющую конечную размерность как векторное пространство над этим полем, и классическая теория описывала структуру таких алгебр (например, основная теорема Веддербарна Х.3.2). В анализе алгебры непрерывных функций были векторными пространствами бесконечной размерности. В топологии с произведением Колмогорова — Александера в когомологиях (гл. VIII) вводятся градуированные алгебры над коммутативным кольцом, не являющимся полем. Бурбаки и Шевалле [1956] указали современное определение градуированной алгебры н подчеркнули принцип, принадлежащий Муру: формулировать теоремы в максимально полезной общности, например, для градуированных алгебр, а не только для колец. Алгебры Хопфа впервые встретились при изучении Хопфом когомологий групп Ли. Их алгебраическая структура исследовалась различными авторами (например,, Борель [1953], Гальперн [1958]), систематическое изложение дано Милнором и Муром. Алгебры над алгебрами Хопфа были недавно рассмотрены Стинродом [1962].
ГЛАВА VII
Размерность
Эта глава является кратким введением в область широкого применения гомологической алгебры к теории колец и алгебраической геометрии. Мы определим различные размерности и используем их для колец многочленов, для сепарабельных алгебр и в тео-. реме Гильберта о сизигиях. Последующие главы не зависят от этого материала. Исключение составляют описание (§ 3) функторов Ext и Тог для алгебр, прямое произведение и расширения основного кольца для алгебр.
§ 1. Гомологическая размерность
Для абелевых групп С а А группа Ext| (С, А) всегда равна нулю; мы говорим, что С как модуль над кольцом Z целых чисел имеет гомологическую размерность, не большую 1. Проективный модуль Р над произвольным кольцом R характеризуется тем, что все группы Exti (P,G) тривиальны; мы говорим, что Р имеет гомологическую размерность 0. Общая ситуация может быть описана следующим образом-
Теорема 1.1. Для каждого неотрицательного п и каждого левого R-модуля С следующие условия эквивалентны'.
(i) для всех левых R-модулей В, Extn+1 (С, В) = 0;
(ii) в любой точной последовательности модулей
S: 0 Сп -> Хп-1 ->------------> Х0 —> С -> 0,
в которой все Xt проективны, первый член Сп проективен;
(iii) модуль С имеет проективную резольвенту длины п
0 —> Хп —^ Хц-1 —^ ¦ • •—>¦ Хо —> С ‘—^ 0.
Здесь и ниже мы будем писать Ext вместо ExtB.
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed