Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Условие 1. gl. dim R = 0 эквивалентно тому требованию, что кольцо полупросто, и связано, таким образом, с классической теорией представлений. Действительно, левый ft-модуль А можно рассматривать как абелеву группу А вместе с кольцевым гомоморфизмом ср: ft->- Endz А, который определяет левые операторы из ft в Л. Этот гомоморфизм ф называется представлением ft, а Л — соответствующий модуль представления. Модуль Л называется простым (а соответствующее представление неприводимым), если Л ф 0 и в Л нет других подмодулей, кроме 0 и Л. Модуль Л полу-прост, если он является прямой суммой простых модулей; кольцо R Ф 0 полупросто, если оно является полупростым левым ft-модулем. Используя лемму Цорна, можно доказать (см., например, Картан — Эйленберг, предложение 1.4.1), что модуль полупрост тогда и только тогда, когда каждый подмодуль модуля Л является прямым слагаемым в Л. В силу условия (v) предложения 1.3 отсюда следует, что кольцо ft полупросто тогда и только тогда, когда 1. gl. dim ft = 0, а ввиду (ii) каждый левый модуль над полупростым |кольцом ft сам полупрост. Можно также доказать, что левая полупростота кольца ft (определенная здесь) эквивалентна правой полупростоте.
о** Могут быть введены различные другие размерности. Например, левая инъективная размерность модуля определяется с помощью аналога теоремы 1.1 с использованием инъективных резольвент, так что эквивалентность (v)<=>(iii) в последней теореме означает, что левая глобальная размерность кольца ft совпадает с его левой глобальной инъективной размерностью. Правые размерности опре-
§ 2. Размерности в полиномиальных кольцах
263
деляются с помощью правых R-модулей; Капланский [1958] построил пример кольца, левая и правая глобальные размерности которого отличаются на единицу. Ауслендер доказал, что если кольцо R удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей левых и правых идеалов, то его левая и правая глобальные размерности совпадают (доказательство см. у Норскотта [I960], теорема 7.20). Ограниченная левая глобальная размерность кольца R — это верхняя грань гомологических размерностей всех левых /^-модулей С, у которых h. dimC<oo. Слабая размерность модуля С определяется с помощью замены условия Extn+1 (С, А) — 0 для всех модулей А более слабым условием Тог„+1 (G, С) = 0 для всех модулей GB. Например, модуль С тогда и только тогда является плоским, когда его слабая гомологическая размерность равна 0. О развитии этих идей см. работу Басса [1960].
УПРАЖНЕНИЯ
1. Сформулировать и доказать аналог теоремы 1.1 для левых инъективных размерностей.
2. Если 1. gl. dim R > 1, то
1. gl. dim# = l-psup{h. dim L/L — левый идеал в R}.
3. Если A v» В -» С — короткая точная последовательность ^-модулей и если любые два из этих модулей имеют конечную гомологическую размерность, то н третий модуль имеет конечную размерность.
4. В условиях упражнения 3 показать, что из h. dim А < h. dim В следует h.dim С = h. dim В, из h. dim А = h. dim В следует h. dim С < 1 + + h. dim В и из h. dim A > h. dim В следует h. dim С = 1+ h. dim A.
§ 2. Размерности в полиномиальных кольцах
В (VI. 1.4) внешнее кольцо порождало точную резольвенту для поля F, рассматриваемого как модуль над кольцом многочленов от двух переменных Fix, у]. Тот же механизм работает и тогда, когда поле F заменяется коммутативным кольцом К или два неизвестных заменяются п неизвестными.
Подробнее, пусть Р = К 1хи . . ., лт„] — полиномиальное кольцо от п неизвестных xit каждое из которых имеет степень 0. Тогда равенство е (л:г) = 0 определяет пополнение е = еР : Р -*¦ -*¦ К, а «отступление» вдоль е превращает К в P-модуль еК. Такой подход равносилен изучению К как фактормодуля P/(xlt . . ., хп), где (xi.......хп) обозначает идеал в Р, порожденный всеми xt.
Пусть Е = ЕР [«j, . . ., Unl — внешняя алгебра над Реп образующими ut, имеющими степень 1. Значит, Ем в каждой степени т является свободным Р-модулем со всеми внешними произведениями т упорядоченных букв ut в качестве образующих. Диф-
264
Га. VII. Размерность
ференциал, задаваемый равенствами дщ — хи превращает Е в DG-алгебру над Р, причем дЕт+1 а Ет, а отображение гР дает пополнение Е0 К. Все эти модули и гомоморфизмы порождают последовательность P-модулей и Р-модульных гомоморфизмов
0<-еК^-Р = ?о ?-Ei «-0. (2.1)
Предложение 2.1. Если Р — кольцо многочленов от п неизвестных над К, то внешняя алгебра Е с п образующими над Р порождает указанную в (2.1) свободную Р-модульную резольвенту модуля еК.
Для доказательства будут построены такие К-модульные гомоморфизмы т]: К ? и s: Е -*¦ Е степеней 0 и 1 соответственно, что г} — это цепное преобразование и ет) = 1, a s — цепная гомотопия s: 1 ~ rie: Е -> Е. С помощью этой стягивающей гомотопии устанавливается, что последовательность (2.1) точна как последовательность К-модулей и, следовательно, точна как последовательность P-модулей, а дотому является резольвентой.
Цепное преобразование ri определяется формулой r\k = kl; очевидно, что ет] = 1. Гомотопия s строится индукцией по п. Положим
