Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 8
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
8.1. Простое гармоническое движение
Давление в аорте и других крупных артериях возрастает в момент изгнания крови из сердца во время систолы и затем падает во время диастолы. Рост давления сопровождается радиальным движением стенок сосудов (растяжением), а когда давление падает, они, будучи упругими, возвращаются в исходное состояние. Этот процесс происходит во время каждого сердечного цикла, и, стало быть, элементы стенок сосудов колеблются периодически с частотой, равной частоте сокращений сердца. В ответ на пульсирующее изменение давления кровь движется также толчками, и, как мы увидим в гл. 12, в действительности при этом происходит распространение волны давления по артериальному дереву. Поэтому имеет смысл в этой главе рассмотреть предварительно механику колебаний в целом и процесс распространения волн в частности.
Проанализируем вначале колебательное движение отдельной частицы. Предположим, что частица находится в состоянии равновесия в некоторой точке Р и, будучи смещенной, стремится вернуться в эту точку. Примеров подобной ситуации множество: подвешенное на нити тело, которое отклоняют в сторону (простой маятник), тело, прикрепленное к упругой нити и оттягиваемое вниз от положения равновесия, и т. д. Во всех подобных случаях возвращающая сила растет с увеличением расстояния, на которое смещена частица от точки Р. На самом деле для достаточно малых смещений возвращающая сила оказывается примерно пропорциональной расстоянию от точки Р (разд. 8.5). Если частицу сместить, а затем освободить, то она начнет возвращаться к точке Р, однако в силу инерции «проскочит» положение равновесия и отклонится в противоположную сторону. При этом на нее будет действовать возвращающая сила, замедляющая частицу вплоть до полной остановки. После остановки частица вновь начнет возвращаться к точке Р, проскочит ее, отклонится в сторону, куда она была отклонена вначале, еще и еще раз проскочит положение равновесия — т. е. будет колебаться около точки Р.
Математический анализ этого процесса чрезвычайно прост, и мы приведем его здесь целиком, поскольку считаем, что ои полезен для более полного понимания механики колебательного движения. Пусть частица массой т колеблется по прямой около сво-
его положения равновесия Р (рис. 8.1). Если у — расстояние частицы от Р, то величина возвращающей силы, направленной к Р, пропорциональна у и равна, скажем, Ку, где К— положительная постоянная, измеряемая в соответствующих единицах. Примем, что у положительно при смещении вправо от Р и отрицательно при смещении влево; тогда сила, действующая на частицу в положительном направлении у, будет равна —Ку. Согласно второму
Ускорение аР
Сипа К у
Рис. 81 Частица, движущаяся вдоль прямой под действием возвращающей силы, которая равна произведению К на смещение у от положения равновесия Р. Ускорение частицы по направлению от точки Р равно d2y/dt2. Такое движение описывается уравнением (8.1).
закону Ньютона, сила равна произведению массы частицы на ее ускорение в направлении положительных у [это ускорение равно d2y/dt2; см. уравнение (2.5)]. Итак, мы приходим к уравнению
т-^рг = —Ку, (8.1)
которое может быть представлено в виде
-f?f- + c^=0, (8.2)
где со2 = К/m. Уравнение (8.2) применимо к колебаниям любой частицы около положения равновесия, если только эти колебания настолько малы, что возвращающая сила пропорциональна у. Полученное уравнение выражает условие равновесия между действующей на частицу возвращающей силой и инерцией частицы; для существования любого колебательного движения необходимо, чтобы система обладала этими двумя свойствами.
По-видимому, наиболее типичным примером подобной системы служит простой маятник, в котором частица массой т подвешена почти вертикально на нити длиной I (рис. 8.2). Предположим, что нить нерастяжима, и пренебрежем сопротивлением воздуха, а также всеми другими силами трения; тогда единственными действующими на частицу силами буд>т ее вес, равный mg и направленный вертикально вниз, и сила F, действующая со стороны нити (натяжение нити) и направленная вдоль нее. Так как a priori величина F неизвестна, удобнее всего рассмотреть баланс сил в направлении, перпендикулярном нити: в этом направлении F не имеет составляющей. Обозначим через 0 угол (в радианах), который нить образует с вертикалью. Единственной действующей
в выбранном направлении силой будет составляющая веса тела, равная mg sin 0 и направленная вдоль дуги к положению равновесия (последнее отмечено точкой Р на рис. 8.2). Составляющую ускорения в данном направлении мы получим, приняв во внимание, что частица движется по дуге вертикальной окружности радиусом I. Составляющая ускорения по касательной к этой окружности равна d2s/d/2, где s — расстояние по окружности, пройденное от точки Р. Расстояние s равно /0, следовательно, тангенциальная составляющая ускорения равна d2(/0)/d/2 и направлена
