Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
ниже, это обстоятельство оказывается весьма существенным при ответе на вопрос о том, могут или нет конкретные кровеносные сосуды полностью спадаться.
Проанализируем теперь статический баланс сил, действующих на малый элемент стенки сосуда, пренебрегая при этом силой тяжести (возможно, однако, что она участвует в создании давления внутри трубки). Обозначим давление внутри и снаружи сосуда соответственно через рв и р„ и предположим, что трубка имеет круглое поперечное сечение с внутренним радиусом гв и наружным гн (рис. 7.10, Л). Толщина стенки h равна гн — гв. Рассмотрим элемент, длина которого вдоль оси трубки составляет Д/ и который «стягивает» небольшой угол 0 (рис. 7.10,Б). Результирующая сила, действующая на этот элемент, обусловлена перпендикулярными (нормальными) напряжениями на шести его поверхностях; поскольку система в целом симметрична, тангенциальные напряжения отсутствуют. Составляющие действующей на элемент результирующей силы в трех взаимно перпендикулярных направлениях должны быть равны нулю. Выберем эти направления следующим образом: 1—параллельно оси трубки, 2 —по радиусу от оси, 3 — по перпендикулярной к осям 1 и 2 касательной к внутренней поверхности трубки (рис. 7.10, Б).
Условие баланса сил в продольном направлении (т. е. в направлении оси 1) показывает, что продольное натяжение Т на
SehAI
Рис. 7.10. А. Схема толстостенной трубки, внутренний и наружный раднусы которой равны соответственно гв и г„; толщина стенки h = г„ — гв; давление внутри и снаружи равно рв и ри соответственно. Б. Элемент стенки толстостенной трубки имеет длниу А/, толщину h и «стягивает» угол 0. Силы, действующие на этот элемент, показаны более жирными стрелками. Силы, действующие на искривленные поверхности, обусловлены внутренним и внешним давлениями, а на плоские грани, параллельные осн трубки, — окружным напряжением. Растягивающие силы, приложенные к плоским торцам, взаимно уравновешены и не показаны на рисунке.
каждом торце должно быть одним и тем же (оно равно площади торца, умноженной на среднее нормальное напряжение на этом торце). Аналогично баланс сил в тангенциальном направлении (т. е. по оси 3) показывает, что нормальные силы на двух плоских боковых поверхностях элемента, параллельных оси сегмента, также должны быть одинаковы (они равны площади поверхности ЛА/, умноженной на среднее нормальное напряжение Se на этой поверхности). Однако поскольку эти поверхности наклонены друг к другу, а следовательно, и к радиальной координатной оси 2, то результирующая сила имеет составляющую, направленную по радиусу внутрь и равную 2Seh Д/sin ^-0. Еще один вклад в радиальную составляющую силы вносит давление внутри и снаружи трубки; направленная наружу сила, обусловленная внутренним давлением, равна рВу умноженному на площадь внутренней изогнутой поверхности (Д/гв0), а направленная внутрь сила, обусловленная внешним давлением, равна рн, умноженному на площадь наружной изогнутой поверхности (Д/гн0). Таким образом, баланс сил в радиальном направлении дает соотношение
/эвА/гв0 — рн • Д/гн0 = 2SehM sin -g-0. (7.4)
Далее, когда 0 мало (как в нашем случае), sin 0 примерно равен --0 (это соотношение справедливо с точностью до 1% для
0 вплоть до 0,24 рад, или примерно 14е). Поэтому можно сократить обе части выражения (7.4) на Д/0 и получить соотношение
PBrB — P„rH = Seh. (7.5)
Величина Se есть среднее окружное напряжение в стенке трубки; величина же Seh — это приложенное в окружном направлении натяжение в стенке, приходящееся на единицу длины трубки.
Наш опыт обращения с воздушными шарами подсказывает, что раздувание, вызванное превышением внутреннего давления над внешним, должно сопровождаться натяжением в стенке шара, т. е., когда рв > рн, натяжение Soh положительно. Однако из уравнения (7.5) видно, что, если стенка трубки достаточно толстая, т. е. г„ существенно превышает гв, это «натяжение» может быть отрицательным, несмотря на то, что рв > рп. Другими словами, напряжение в стенке является сжимающим1). Этот результат совершенно не зависит от упругих свойств материала стенки, но они
') Это утверждение, кажущееся на првый взгляд парадоксальным, на самом деле легко объяснимо Следует помнить, что речь идет о средних по толщине стенки напряжениях, а не об истинных их значениях. Последние же распределены так, что в стенке при рв > Рн имеется область растяжения (она примыкает к внутренней поверхности трубки) и, возможно, область сжатия (у наружной
становятся существенными при оценке влияния, которое подобное сжимающее напряжение оказывает на форму поперечного сечения трубки. Прежде чем обратиться к этому вопросу, посмотрим, каким является окружное напряжение в кровеносных сосудах— растягивающим или сжимающим.
Рассмотрим, например, артерию, давление внутри которой превышает атмосферное на 1,3-104 Н-м~2 (около 100 мм рт. ст.); давление снаружи равно атмосферному (105 Н-м~2). Если это, скажем, бедренная артерия собаки, свойства которой приведены в табл. I, помещенной в начале книги, то внутренний радиус ее составляет 0,002 м при толщине стенки 0,0004 м. Рассчитав по уравнению (7.5) натяжение в стенке Soh, мы увидим, что оно отрицательно (т. е. напряжение сжимающее) и составляет примерно —14,0 Н-м-1. При внутреннем давлении, большем всего на 50 мм рт. ст. (что может наблюдаться в ступне), напряжение в стенке было бы растягивающим; если бы внутреннее давление было меньше, чем указано, сжатие было бы еще более сильным. Подобный анализ напряжения в стенках всевозможных кровеносных сосудов показывает, что для огромного большинства из них характерно именно сжимающее окружное напряжение. Исключение составляют лишь самые крупные сосуды — аорта и полая вена, а также крупные сосуды, расположенные ниже уровня сердца, в которых внутреннее давление относительно высоко. Наиболее высоки сжимающие напряжения в мелких артериях и арте-риолах, стенки которых очень толстые, так что ги значительно превышает гв-
