Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 8.2. Простой маятник. Частица подвешена на иерастяжи-мой иити длиной I в колеблется в вертикальной плоскости. Силы, действующие на частицу: ее вес mg, направленный вертикально вииз, н натяжение нити Я. Удобнее всего рассматривать баланс сил в иаправле-* иии, перпендикулярном иити; составлиющие силы и ускорения в этом направлении показаны иа рисунке и обсуждаются в тексте.
в сторону увеличения 0 (см. рис. 8.2). Уравнение «сила равна произведению массы на ускорение» дает в этом случае соотношение
• о d2 (/6)
mg sin 0 = —m-d<2 —,
где знак минус появился из-за того, что справа должна стоять составляющая ускорения в направлении силы, а не в противоположном направлении. Данное уравнение может быть переписано в виде
+ g sin 0 = 0. , (8.2а)
Заметим, что если горизонтальное смещение частицы равно у,
то
sin 6 = у/1.
Предположим теперь, что угол 0 все время остается очень малым; это означает, что частица фактически колеблется вдоль горизонтальной прямой и что sin0 примерно равен 0 (см. разд. 7.3), поэтому /0 примерно равно у. В этом случае уравнение (8.2а) упрощается и приобретает вид уравнения (8.2), в котором роль со2 играет g/l.
Каким бы образом мы ни освобождали частицу, ее последующее движение должно быть таким, чтобы изменение у во вре-*
Составляющая / ускорения '' d?(,9) d/? '
Составляющая сипы mg sin0
мени удовлетворяло уравнению (8.2) при данной величине со. [На языке математики это звучит так: функция y(t) должна быть решением дифференциального уравнения (8.2).] Оказывается, однако, что число движений, удовлетворяющих этому уравнению, бесконечно; то единственное из них, которое сооответствует данной ситуации, полностью определяется смещением у и скоростью Ay/At в момент освобождения (мы можем, например, при данном исходном смещении освободить частицу без начальной скорости или же оттолкнуть ее в сторону от Р с некоторой скоростью). В наиболее общем виде движение, удовлетворяющее уравнению
(8.2) (его общее решение), дается выражением
у — A cos со/ + В sin (at, (8.3)
где А и В — произвольные константы. Соответствующую этому движению скорость частицы dy/dt получают путем дифференцирования уравнения (8.3) по времени:
= —со A sin со t + соВ cos со/. (8.4)
Значения констант Л и В можно определить, зная начальные значения у и dy/dt. В качестве первого примера рассмотрим простой маятник, гирю которого (будем считать ее частицей) отводят в сторону на расстояние а по горизонтали от положения равновесия, а затем в момент времени t = 0 отпускают с нулевой скоростью. Таким образом, при * = 0 у —a, = Заметим, что
sin0 = 0, a cos0= 1. Подставив второе из этих равенств в (8.4), мы увидим, что В должно равняться нулю; подстановка первого равенства в (8.3) даст соотношение Л = а. Таким образом, решение задачи о движении частицы на протяжении всего времени имеет вид
у— a cos at, (8.5)
а скорость, как и раньше, получается из этого выражения путем дифференцирования:
= —со a sin со t. (8.6)
Графики зависимости двух этих величин от времени приведены на рис. 8.3. Видно, что у периодически меняется от +а до —а, а dy/dt — от +соа до —со а, проходя через нуль при у, равном ±а. Величина а называется амплитудой колебания положения точки; соа есть амплитуда скорости. Периодом колебания Т (рис. 8.3) называют время, за которое завершается полный цикл колебания;
Рис. 8.3. Графики зависимости от времени величин у и dy/Al, заданных соотношениями (8.5) и (8.6). Амплитуда колебаний положения равна а, а скорости — (оа. Период колебаний равен Т( — 2п/а). Эти графики представляют простое гармоническое движение. Штриховые линии, являющиеся их продолжением до новой точки начала координат, соответствуют соотношениям (8.7) и (8.8) при
V = оса.
(х отрицательно, е= А (х положительно,
у положительно)/ Ч 2 1 ) v у положительно)
I ч в I 6 = 0
{х отрицательно ,\ / ч I 6=2п
у отрицательно) / ч
s' ч
/ •ч.
ч
/ ч / (х положительно,
с 3 4 у У отрицательно)
Рис. 8.4. Схема, иллюстрирующая периодический характер функций sin 6 и cos в, определенных тригонометрически В первом квадранте обе функции положительны; во втором sin в положителен, a cos в отрицателен; в третьем обе функции отрицательны; в четвертом sin 0 отрицателен, a cos 0 положителен. При увеличении 0 иа 2л (360°) функции sin 0 и cos 0 остаются неизменными.
Дальнейшие пояснения даны в сноске на стр. 137.
он равен 2зт/(о|). Частота колебаний, т. е. число циклов или периодов в единицу времени, равна со/2л; величина со(= 2л/) называется угловой частотой. Единицей измерения всех частот является обратное время* т. е. с-1; это связано с тем, что как угловая единица — радиан, так и число циклов безразмерны. Величины о и а совершенно независимы друг от друга: частота со полностью определяется параметрами рассматриваемой системы (массой частицы m и константой, характеризующей возвращающую силу К), в то время как амплитуда а определяется исключительно смещением и скоростью, которую имеет данное тело в момент его освобождения. Интересно отметить, что для маятника частота не' зависит также и от массы /и, так как со равно -yfgjl-Таким образом, период колебаний маятника не зависит от массы гири; имейте, однако, в виду, что механизм действия маятниковых часов и их регулировка не столь просты, как это может показаться из всего сказанного выше.
