Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
весия (у — 0) с данной скоростью V\ в математических символах эти условия имеют вид
У = 0, ~lf=V при ^ — 0. (8.14)
В отсутствие затухания (Р = 0) движение в этом случае описывается выражениями (8.7) и (8.8). При наличии затухания решение уравнения (8.13), а следовательно, и движение частицы
имеют различные формы в зависимости от того, каков параметр
Р — меньше частоты со, равен ей или больше нее. Рассмотрим три этих случая раздельно,
а) Р < со.
В этом случае решение имеет вид
у = — е~р* sin coi/1*, (8.15)
u)i
где со] = V®2 — Р2 и называется собственной частотой затухающего колебания. График зависимости у от I для этого случая (при некоторых конкретных значениях р и со) приведен на рис. 8.10, Л. Движение по-прежнему остается колебательным с частотой coi (периодом Ti = 2n/wi), но его амплитуда а задается выражением
а = Хе-<”, (8.16)
т. е. уменьшается в ерГ| раз за каждый период (множитель ерг' часто называют коэффициентом затухания). Рассмотренный пример иллюстрирует затухающие колебания2).
‘) Число е равно примерно 2,718. Графики функций у = е*, у = и у = 1 — е~* приведены на рис. 8.9. Когда х становится бесконечно большим, е* (экспоненциальная функция) стремится к бесконечности, а е~х — к нулю. Оказывается, что е~х стремится к нулю быстрее, чем х в любой отрицательной степени, скажем х~т или х~,с0° 00°. Особенность функции е* заключается в том, что она равна по абсолютной величине своей производной, т. е. d/dx(e*) = е*, d/dx(e~x) — —е~х. С этим связано столь частое появление экспонент при решении задач, подобных описанной выше.
2) Подобным образом часто анализируют'работу используемых в физиологических исследованиях датчиков давления, которые соединены с заполненными жидкостью насадочными иглами или катетерами. Диафрагма датчика действует как пружина и обычно проскакивает положение равновесия, когда смещается под действием давления; инерция при этом обусловлена по большей части содержащейся в катетере жидкостью. «Переброс» затухает за счет вязкости жидкости в катетере. Величина и скорость спада «переброса» представляют интерес, поскольку очевидно, что именно они определяют степень достоверности записей давления, получаемых с помощью подобной системы. При изучении кровообращения обычно применяются системы, заполненные жидкостью, и датчики с жесткой диафрагмой; при этом наблюдаются затухающие колебания, аналогичные изображенному на рис. 8.10, Л. Определение коэффициента затухания н собственной частоты затухающих колебаний этой измерительной системы с помощью специальной калибровки позволяет предсказывать поведение системы е широком диапазоне частот,
б) Р > со.
В этом случае движение описывается выражением
V — pt (tit — nt\ /о 1>7\
У — -2^-е * ^е —е ), (8.17)
где п = УР2 — со2 и, следовательно меньше, чем р.
График зависимости у от t для конкретных значений р и со приведен на рис. 8.10, Б. Видно, что в этом случае колебания отсутствуют: маятник, отклонившись один раз, возвращается назад и мягко останавливается в исходном положении равновесия. Строго говоря, движения, описываемые выражениями (8.15) и (8.17), не затухнут полностью, пока не пройдет достаточно много времени, так как е~В' становится равным нулю лишь при /->оо. Однако на практике такие движения становятся незаметными через конечное время; например, амплитуда движения, заданного выражением (8.16), уменьшается в 100 раз за время, для которого pf = 4,6;
поэтому приемлемой оценкой времени затухания может служить
выражение
/ = 4,6/р. (8.18)
Полностью задемпфированное движение, описываемое выражением (8.17) (оно называется колебанием со сверхкритическим затуханием), представляется суммой двух экспоненциально убывающих членов. Тот из них, который убывает медленнее, имеет вид е-(Ртак что для него время уменьшения амплитуды в 100 раз равно 4,6/(р — п). Интересно отметить, что, когда р очень велико по сравнению с со (т. е. в случае чрезвычайно сильного затухания), п примерно равно р, а р — п чрезвычайно мало. В самом деле, р — п при этом примерно равно со2/2р, а время затухания составляет 8,бр/со2; оно очень велико по сравнению с периодом незатухающих колебаний 2я/со (со называют собственной частотой незатухающих колебаний). Таким образом, если мы хотим как можно быстрее задемпфировать нежелательные колебания, то не следует делать коэффициент р очень большим; на самом деле для быстрейшего затухания (без «переброса») р должно как можно меньше превышать со.
в) р = со.
Это критический случай, промежуточный между а) и б). Движение описывается выражением
y==Vte~&t. (8.19)
График этой функции, представленный на рис. 8.10, В, не слишком сильно отличается от графика рис. 8.10, Б; данный случай интересен только тем, что именно здесь р принимает то минимальное значение (равное со), при котором еще отсутствуют колебания. Подобное движение называют колебанием с критическим затуханием.
