Временная организация клетки. Динамическая теория внутриклеточных регуляторных процессов - Гудвин Б.
Скачать (прямая ссылка):
редуцировать число переменных в системе, используется в кинетике уже
много лет под названием метода стационарных концентраций. Уже
первоначальное уравнение Михаэлиса — Ментен для кинетики ферментативного
катализа было получено с помощью этого метода. Однако в этом, как и в
других случаях, законность использования метода стационарных концентраций
ставилась под сомнение. Поэтому Бриггс и Холдейн произвели исследование
кинетики ферментативного катализа, не используя предположения о
стационарности концентраций промежуточных соединений. Обсуждение вопроса
о временах релаксации в гл, 2 имело своей целью как раз установление
критериев, обеспечивающих корректность применения метода стационарных
состояний. Одновременно был сформулирован принцип, позволяющий выделить
различные классы динамических систем.
ДИНАМИКА ЭПИГЕНЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 69
Если мы будем учитывать ингибирование конечным продуктом, т. е.
уменьшение активности У* под влияниём Mi, то уравнения можно записать в
виде
dMi riXi „ Л/Г
dt Ci + hiMi Silil-
Принимая концентрацию Mt стационарной, получим
SiMi (Сi + hiMi) — rtYt = 0,
откуда
м .. -SiCi±{(siCi)Z + 4sihiriYi}У»
1 2 Slhi
Здесь только один из корней положителен:
[*-/ (1+i^?r)] =
“wt/O+W)-*]-
Итак, становится ясным, что учет деталей возможных взаимодействий между
Yг и Мг привел бы к весьма сложным соотношениям. Однако и в этом случае
мы воспользуемся простейшим возможным соотношением между Yi и Mi,
следующим из уравнения (13).
Возвращаясь к уравнению (12) и заменяя Mi на riYi/si, получим
I flj ^
~dT^ ^+л,у'Г“01’ где ki = и Ai = Bi — miSi.
УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ЭЛЕМЕНТАРНОГО БЛОКА УПРАВЛЕНИЯ
Предыдущее уравнение вместе с уравнением (2) образуют систему,
описывающую динамическое поведение элементарного блока управления,
представленного на фиг. 1. Ниже будет показано, что эта система описывает
нелинейный осциллятор без затухания. Все более сложные системы будут
построены на основе этой схемы, и их
70
ГЛАВА 4
динамика будет иметь те же основные характеристики, хотя наличие большего
числа внутренних связей обеспечит этим системам существенно новые
свойства. Теперь мы вкратце рассмотрим динамику переменных. Xt и 5*,
определяемых системой уравнений
Теперь покажем, что этот интеграл определяет замкнутые траектории в
пространстве переменных (Xt, Yt), т. е. что мы имеем колебательную
систему. Постоянная интегрирования выражается через начальные значения
переменных, т. е. через величины (Хг)0, (Yt)0, которые должны быть строго
положительными. Поскольку эти величины конечны, также должно быть
конечной величиной. Это значит, что обе переменные, X, и Yt, ограничены
сверху (снизу они ограничены нулем), поскольку интеграл Gt является
монотонно возрастающей функцией Xt и YI, когда эти величины превосходят
свои стационарные значения (т. е. значения, при которых dXi/dt и dYJdt
обращаются в нуль). Последнее означает, что Gt (Хи Yi) возрастает с
увеличением Xt и (или) Y*, что нетрудно проверить. Отсюда ясно, что Xt и
Yt должны оставаться ограниченными при конечных начальных значениях.
В действительности мы можем пойти дальше и показать, что ни одна из
переменных не может всегда сохранять величину, превосходящую ее
стационарное значение. Обозначим эти стационарные значения через pt и qit
тогда
(14)
Эти уравнения можно заменить одним:
Проинтегрировав его, получим
<хг- № + btYi - -g- log (At + ktYi) =
~Gi(Xt, F,)=const. (15)
ДИНАМИКА ЭПИГЕНЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 71
они будут определяться уравнениями
fl j 1 л
+ 1 i , (16)
aiPi — Pi = 0 j
где по определению pt и qt > 0. Далее нужно принять, что ai/Ai > bt,
поскольку щ/At — скорость синтеза m-PHK в отсутствие репрессии. Эта
скорость должна превышать скорость распада m-PHK, так как в противном
случае соответствующая m-PHK будет отсутствовать в клетке.
Возвращаясь к системе (14), можно показать, что если Xt > pt, то dYi/dt >
0. Тогда, если Xt будет всегда оставаться больше pi, то Yt будет
неограниченно возрастать, стремясь к оо. Мы уже показали, что это
невозможно. Следовательно, Xt не может всегда оставаться больше рг.
Если, возрастая, Yt станет больше <?*, то, как легко заметить из
уравнений (14) и (17), dXt/dt станет меньше нуля. Тогда Xi начнет
уменьшаться. Теперь нам нужно показать, что Хг не может все время
оставаться меньше рг.
Если Xi < pi, то dYi/dt < 0. Тогда Yt будет убывать и в некоторый момент
мы получим Yt < qt. Это неравенство будет сохраняться, пока будет
выполнено условие Xt< pi, поскольку dYi/dt < 0. Но если Y\ <; qt, то
dXi/dt^>0, и следовательно, Xt должно возрастать. Тогда мы получаем
противоречие: если мы будем поддерживать неравенство Xt <С pt
неопределенно долго, то dXi/dt станет и будет оставаться положительным и,
следовательно, Xt будет неограниченно возрастать. Следовательно, Xi не
может всегда оставаться меньше р%. Тем же способом можно рассмотреть Yt и
qt. Итак, мы приходим к выводу, что переменные должны колебаться около
