Временная организация клетки. Динамическая теория внутриклеточных регуляторных процессов - Гудвин Б.
Скачать (прямая ссылка):
Выражение для концентрации комплекса матрица — предшественник для синтеза
m-PHK второго вида аналогично первому:
Используя соотношения между 7?г и Ми которые привели к уравнению (12), мы
в данном случае получим следующие выражения для скорости синтеза m-PHK:
\TiAi]
Li И,] Hilo
1 + Li [ЯЙ -j- Кц [Л4] + Kl2 [Я2]
J-2 Иг] [Г2]0
1+^2 Иг! + К21 [7?j] + К22 [Д2]
dX±
dt dX 2
_______________^_________________L
B2-\rm2i[Mi— i5'i]-\-rn22 [M2— ?2] 2
dt
где mtj — параметры, аналогичные mt в уравнении (12).
88
ГЛАВА 4
Теперь опять используем метод стационарного состояния, чтобы выразить Mt
и М2 через Yt и Y 2. Будем считать, что между этими величинами имеется
линейная зависимость, как и в случае, которому соответствует уравнение
(13). Тогда окончательно дифференциальные уравнения для системы,
изображенной на фиг. 2, будут иметь вид:
dXi щ
dt ^1 + *11^1 + ^12^2
dX2 &2
dt A2 A'2iY1 -}” ^22^2
^ = asX2-pa
Уравнения, описывающие синтез белка, имеют тот же вид, что и для случая
невзаимодействующих систем, так как на уровне синтеза белка никаких
сильных взаимодействий не предполагалось.
Система (22) описывает одиночную динамическую систему со связями, для
которой мы теперь выведем интеграл. Обозначим стационарные значения, как
и раньше, {Ри 4i) и (р2, 42), тогда
Ч и _п
Ai-\-kiiqi-\-ki2q2 1
_______°2_________fo _ Q
^2“1"*21?1 + *22?2 2 ’
ctjPi о,
«2^2— Р2 = 0-
Обозначим
Ql — ^1 + kllQl + ^12?2
и
Q2 = А2 -j- /С21?1 "Ь ^22?2-
А
-ъ2
(22)
ДИНАМИКА ЭПИГЕНЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 89
Чтобы проинтегрировать эту систему, нужно сначала выполнить следующее
линейное преобразование:
х\= — Pi,
х2 = Х2— р2,
Yi + Hi — (А + kXiYi k12Y2),
Y2 + У2 — ^ (A + k2iY -f- k22Y2),
где yt и y2 — вспомогательные постоянные, которые будут ниже определены
через истинные параметры системы. После преобразования система
приобретает вид:
dxi_ais______________________Qi____________________-Л = А с
Yl л Л
'dt Qi v^l + *il^i+*12^2 J 1 \Yl + J/l J ’
dx 2 _ _ог ^_____Q2___________\^) — Ь2( V2 __1
Q2 \ A2 + *21^1 + *22^2 J VY2 + ^2
= $1 Cku A1 + kl2 ”^) = "oi (kll<llXl + к^2х2),
rf? = of ^5) = § {k2iaixi + k22a2x2).
Эта система интегрируется, если
Yl*12a2 _ У2*21«1 Qi <h ’
т. e. коэффициенты «взаимной связи» должны быть равны. Возьмем
Yl — QikziV-i И Y2 = (?2^12a2-
Тогда уравнения примут вид
$-*?(«?*-*
dx2 dt
— ^-2iai (/fii^A -)- kl2a2x2) ?Jjp = kl2a2 (k2iatXi k22a2x2)
(23)
90
ГЛАВА 4
Интеграл этой системы можно записать в следующей форме:
G(Xi, х2, ух, у2) =
+ Ьх [г/i — Yi log (1 + Ух/ух)] + bz [г/г — Y2 log (1 + y2ly2)\- (24)
Легко проверить, что уравнения (23) получаются из следующих уравнений в
частных производных:
Таким образом, введение в модель сильного взаимодействия в виде взаимной
репрессии математически выражается появлением в интеграле члена ххх2. Как
станет ясно из гл. 7, это чрезвычайно существенно для поведения системы.
Однако слабость нашей теории состоит в том, что для того, чтобы система с
сильными связями имела интеграл, она должна быть симметрична, т. е. не
только Мх должен действовать на 12, но и должен действовать на Ьх. Случай
несимметричной связи, которая, по-видимому, часто имеет место в реальных
системах, может быть получен в рамках этой теории только асимптотически,
для чего один из коэффициентов — к12 или к2х — следует считать очень
малым.
Теперь ясно, каким способом можно строить более сложные сети из
элементов, сильное взаимодействие которых обеспечивается взаимной
репрессией. Система, представленная на фиг. 7, обладает следующей
степенью сложности по сравнению с той, которая была изображена на фиг. 2.
Однако на этой схеме можно видеть новое ограничение, вызванное
требованием интегрируемости. В то время как Ь2 может взаимодействовать
как с так и с Ь3, эти локусы могут взаимодействовать только с Ь2, но не
между собой. Это ограничение вызвано отсутствием симметрии у
коэффициентов взаимной связи, т. е. ки Ф кл при i Ф /. Действительно, нет
оснований
= &цК21а? у + к12к21аха2ХхХ2 -{- к22к12а\ ~ -}-
(25)
ДИНАМИКА ЭПИГЕНЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 91
Ф И Г. 8.
предполагать, что такая симметрия существует, поскольку сродство разных
репрессоров к разным локусам скорее всего совершенно различно. Для того
чтобы получить интегрируемую систему, мы должны сделать члены, выражающие
взаимную связь, равными, умножая их на соответствующие коэффициенты,
подобные yi и у2 Для предыдущего случая. Последнее возможно лишь для
взаимодействия, описываемого схемой на фиг. 7 (см. ниже).
Если мы перейдем к системам произвольного размера с сильным
взаимодействием между компонентами, схема примет вид, показанный на фиг.
8. Структура этой схемы опять ограничивается условиями интегрируемости,
так что допускаются лишь взаимодействия с соседями. Ясно, что это
условие, удобное для математики, является слабым местом нашей теории.
Если бы мы допустили суще-
92
ГЛАВА 4
ствование всевозможных взаимодействий между компонентами, не накладывая
