Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Квадрупольные линзы
что довольно часто сферически симметричная модель линзы (и акси-симметричная линза) оказывается не слишком удачной моделью во 0гих интересных астрофизических ситуациях. Так, иногда рассматривается картина гравитационного линзирования (например, звездой), которая йска*ена гравитационным полем галактики. В этом случае можно рассмо-YpgTb влияние на лучи света локальной гравитационной линзы, возмущение крупномасштабным гравитационным полем, где учтены квадратичные цлены в разложении гравитационного поля. Тогда угол отклонения с уче-тоМ влияния крупномасштабного поля равен
«„(*) = «р(0) + ( Г0' ° ) - = «,(0) + ( kp^7p кр°+7р)*> (6'7°)
где система координат выбрана т.о., что начало координат совпадает с центром системы координат, а направление осей выбрано т.о., что в этих координатах квадрупольная матрица диагонализируются. Согласно ранее приведенному анализу, (Гі + Г2)/2 - локальная поверхностная плотность массы крупномасштабного распределения, (Гі — Гг)/2 - сдвиг, соответствующий этому распределению. Рассмотрим дальше случай Гі ф Гг, поскольку случай Гі = Гг соответствует симметричной линзе. В этом случае уравнение линзы имеет вид
у = х[ 1 - *(*)] - ( Г0' г° ) (6.71)
где начало координат в плоскости источника перенесено в точку у и* у + Of(0), где к(х) = т(х)/X2 - средняя поверхностная плотность массы внутри окружности с радиусом х и х = \х\. Геометрическое решение уравнения линзы
Введем полярные координаты у = y(cost9, sint9), х = x(cos<^, sini^) и запишем уравнение линзы (6.71) в виде
ycost? = XCOS — к(х) — Гі], ysint? = xsin ip[l — к(х) — Г2]. (6.72)
Решим уравнение линзы в переменных х, tp, считая, что положение источника задано (у, д), у > 0. Рассмотрим две кривых:
I \ c0s^ ( \ sin^ ,а
«UV)=—, Mv) = — (6-73)
u^x)= Xil-X-T1Y wa^)= ф-д-га] (6-74)
в плоскости (и, и). Кривая (6.73) является окружностью радиуса 1/у. Точ-ки (u, и), являющиеся пересечением кривых, соответствуют решениям урав-Нения линзы (отсюда, например, графическим путем можно найти значения 170 Глава 6. Модели гравитационных Jilflj..
угла <р, соответствующие этим точкам пересечения) и, исключая величй!і к(х) из соотношений (6.72), получим выражения для х: ^
(Г2-Г,)ein20' (®"75)
Одномерное уравнение линзы
Нахождение общего решения в аналитическом виде достаточно трудн0 Тем не менее, уравнения линзы (6.72) могут быть сведены к одному уравнению. Переписывая уравнения (6.72) в виде і
Ul , J/2
C0S * = x[l — S(x) — Гі]' sm * = x[l — S(x) — Г2]' (6'76)
складывая возведенные в квадрат правые части и приравнивая результат к единице, получим
х2{1 - S(®) - Г,]2[1 - S(x) - Г2]2 - «л [1 - S(x) - Г,]2 -
— t/|[l - S(x) - Г2]2 = 0. (6.77)
Тогда решения уравнения (6.77) при х > 0 определяют все решения уравнений (6.72).
Якобиан и критические кривые
Рассмотрим матрицу Якоби отображения линзы
( i-S(x)-r,-^is'(x) _?l?iS'(x) \
A= X х 2 (6.78)
^ _?^iS'(x) 1 - к(х) -T2- —к\х) J
где штрих означает дифференцирование по переменной х. Определитель матрицы Якоби равен
det A= (1-S(x)-r,)(l-S(x)-T2)-
- xS'(l -S-T2 cos2 VJ-T1 sin2 tp). (6.79)
Тогда для критических кривых (т.е. для множества точек на плоскости линзы, где определитель матрицы Якоби обращается в нуль det А = 0), имеем уравнение
cos2
I-S-T1 /I-S-T2 \
^тглтЧ—эр—1J- (6'80)
Из соотношения (6.80) ясно, что критическая кривая как функция от х может быть получена, исходя из вычисления правой части уравнения (6.80). Эта величина должна находиться между нулем и единицей, если имеются критические точки на расстоянии х от центра. Значения cos2 tp определяют четыре различных критических точки, что связано с симметрией модели линзы относительно отражений (xi, х2) ±(xi, —х2), (r/i, у2) ±(уі, — уг). Квадрупольные линзы
171
каустические кРивые
PbCCMotPhm пересечение критических кривых С ОСЬЮ x2 = О, COS2 <f = 0). Jj3 соображений симметрии ясно, что касательный вектор к этим критическим кривым пропорционален вектору (1,0). Из выражения (6.78) дЯЯ матрицы Якоби следует, что матрица А диагональна в рассматри-gaeMbix точках. Имеется два типа критических точек: таких, для которых j _ ? — Гі = 0, и тогда эти точки называются С-точками (точками сборки ("cusp")), поскольку в этих точках собственный вектор матрицы Якоби соответствует нулевому собственному вектору, тем самым, соответствующая точка на каустической кривой у = (0,хг(Гі — Гг)) есть сборка. При P1 —> Г2, имеем у —> 0, откуда следует, что данная критическая кривая возникает из соответствующей тангенциальной критической кривой при нарушении симметрии. Второй тип точек критических кривых на ОСИ x2 - это точки, где 1 — ? — Г2 — х2к' = 0. Для этих точек A22 = 0, тем самым, касательный вектор к критической кривой не отображается в нуль, поэтому эти точки не приводят к образованию сборок, и эти точки называются F-точками (от слова "fold", т.е. "складка"). Аналогичное обсуждение критических точек на оси х\ приводит к заключению, что С-точки удовлетворяют условию 1 — к — Г2 = 0, F-точки соответствуют условию l-ifc-Гі -Xik' = 0. Частное решение уравнения линзы
