Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Смягченная сингулярная изотермическая сфера. Смягченная Chjj гулярная изотермическая сфера является моделью, в которой устранен не достаток, связанный с бесконечной величиной плотности в центре, а имец но, имеется радиус ядра гс, поэтому такая модель называется MOflejiblo изотермической сферы с ядром или ISC-моделью, которая кажется более разумным приближением для распределения массы в галактиках и в скоплениях галактик. Предполагается в рамках данной модели, что распреДе. ление массы описывается соотношением
p{r)=2nG(r>V+riy (6'53)
тем самым, выражение (6.53) совпадает с (6.44) при гс = О или г Гс, Тогда поверхностная плотность массы и общая масса внутри окружности радиуса определяются соответственно выражениями
Е(?) =-(6.54)
m(0 = -?(Ve + ri-rc).
(6.55)
Вводя переменные х = ?/гс, У = (ri/rc)(Dd/Ds), получим уравнение линзы в виде
у = х - D(VT+X - 1)/х.
(6.56)
Параметр D ¦.= (4n<T2v/c2)(DdDds/rcDs), определяет число решений уравнений линзы (By (1995)). Теж, в случае D < 2 в рамках ISC-модели всегда возникает ТОЛЬКО ОДНО решение, В TO время KclK может быть три решения при D > 2, если у достаточно мало. Решения уравнения линзы могут быть найдены KclK пересечения прямой у =COnst с кривыми у = X— D(V 1 + X2 — 1)/г.
Тогда для коэффициента усиления имеем следующее выражение:
P =
1 -D
Vl + X2 - 1
)(
1 + DVTTf-i_D
1
у/ЇТ-
(6.57)
Другой моделью, возникшей при описании сферически симметричных распределений массы в галактиках и скоплениях галактик, является модель Кинга. Основные свойства ISC-модели (модели изотермической сферы с ядром) и модели Кинга приведены в таблице 6.1. Следует заметить, что иногда под моделью Кинга подразумевается несколько иное распределение (см., например, Блиох и Минаков (1989))
2(0 =
E0
1
Vi+е Irl Vi + Я7гі
о,
при при
*< 1, *> 1.
(6.58) g j Аксиально симметричные линзы
167
¦faбяИЦа 6-1. Две модели гравитационных линз, близкие к модели сингулярной изотермической сферы
Модель
Поверхностная плотность
ISC
ТГ
^/гт:
Модель Кинга
1 + ?2
Масштаб длины
Центральная плотность (ро)
Po =
2 TrGr2
/>о =
Vl + x2-!
IEl
47rGr2
Уравнение линзы
y = x-D
у =х-D
1п(1 + д2)
D
4тг
< DdDd. г C.D,
18
tr'j DdDd.
ГсР.
Критическое значение D
1
Некоторое семейство аксиально симметричных моделей линз. Рассмотрим некоторое семейство моделей линз, в которых устранены основные недостатки других дисковых моделей, а именно, в рассматриваемых моделях отсутствует бесконечная плотность в центре и нет разрыва поверхностной плотности на границе соответствующего диска. Соответствующее поверхностное распределение массы имеет вид
где Eo - поверхностная плотность массы в центре распределения, ?с - характерный масштаб длины, где происходит существенное уменьшение величины поверхностной плотности массы (эта величина может быть отождествлена с радиусом ядра галактики), величина р характеризует "мягкость" линзы, при ? » ?с имеет место следующая асимптотика E ос . Ограничим внимание следующими значениями 0 < р < 1/2. Заметим, что общая масса диска, описываемого распределением плотности (6.59), оказывается бесконечной. Тем не менее, если выбрать граничное значение R для распределения (6.59) достаточно большим, так что тангенциальные критические кривые имеют радиус много меньше, чем R, то введение такого граничного значения не меняет картину рассматриваемого эффекта. При P = O распределение соответствует модели Плюммера, а при р = 1/2 и больших значениях ? модели изотермической сферы.
Выберем характерный масштаб длины ?о = Тогда имеем следующее выражение для безразмерной поверхностной плотности массы:
Тог,
'да для потенциала отклонения имеем следующее выражение:
>/<(*) = ^ft1 + *2)"-!]. (6.61) 168 Глава 6. Модели гравитационных лщ
Переходя к пределу р —> 0 в выражении (6.61), получи
"/-H = ^h(H-X2)1 (р=0). (6;б2)
Соответствующее уравнение линзы имеет вид
y=x-feo(l+*2)'-p' (6-®)
При ко > 1 уравнение линзы имеет тангенциальные критические окружности при X — Xt, где
Xt
= \Ло1/(1""р) - 1, (6.64)
и радиальные критические кривые, которые определяются из решения следующего уравнеї----
1 -fco(l +Х2)р-2[1 +(2р- 1)х2] = 0. (6.65)
Точное решение уравнения (6.65) не может быть получено аналитически, поэтому приведем аналитические решения при р = 0 и при р = 1/2:
г = 4M2*0 -1-у, при р=0,
(6.66)
Xr = уко2/3 - 1, при P= 1/2. (6.67)
Соответствующая каустическая кривая в плоскости источника имеет радиус уг = |у(хг)|, где
_2(l_zp)4_
Уг 1-(1-2р)х? 1 '
Источникам, находящимся в области |у| < уг, соответствуют три изображения, источникам, находящимся в области |у| > уг - одно изображение. При 0 < у < j/г имеется три изображения: при х > Xt (изображение типа I), при -Xt < X < —хг (изображение типа II), при —хг < х < 0 (изображение типа III), Коэффициент усиления для данной модели равен
(6.69) Квадрупольные линзы 169
?.2^,----- !
