Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
*? X* у,2 V*
0 < А < 1 е = +1 ? = -1 1 1/Л 1/Л 1 (I-A)MC] 4Л [F] (I-A)VAfC] 4 [F]
-1 < A < 0 е = +1 E= -1 1 -1/Л 1 -1/Л (I-A)MF] —4Л [F] 4[F] -(I-A)VAfC]
Поскольку уравнения (6.89-6.92) имеют решения только в том случае, если правая часть этих уравнений положительна, то для анализа полученных решений отдельно необходимо рассмотреть значения параметров Л > О, А < О, є = ±1. Результаты этого анализа приведены в таблице 6.2, где в квадратных скобках указан тип особой точки, [F] - особая точка типа складки, [С] - особая точка типа сборки. Решение уравнения линзы
Введем полярные координаты в плоскости линзы Xi = X cos tp, X2 Y sin tp. Тогда уравнение линзы принимает вид
Yi = X cosip{eA-1/X2), Y2 = Xsin<p(e- 1/Х2), (6.93)
решая эти уравнения относительно sin <р, cos ip, получаем
c0s^ = Х(еА-V2)' ^ = Х(е-\/Х*У (6-94)
Складывая квадраты правых частей соотношений (6.94) и, приравнивая результат к единице, получим уравнение четвертой степени относительно
X2:
A2X8 - [2еА(А + 1) + V12A2V22IX6 + [А2 + 4Л + 1 + 2е +
+ (У,2 + AY?)]X* - [2е(А + 1) + Yi2 + V22IX2 + 1=0, (6.95)
которое может быть решено аналитически. Для любого положительного решения уравнения (6.95) X2 необходимо взять положительный корень X == +у/Х2. Т.е., уравнение линзы имеет четыре, два или нуль решений. Решение уравнения линзы с нулевым сдвигом 7 = 0. Рассмотрим случай A=I, тогда уравнение линзы становится аксиально симметричными, и получаем одномерное уравнение линзы
Y = eX- 1/Х, (6.96) ? 3 Неосесимметричные модели линз 175
т0Гда решения этого уравнения имеют вид
X = еУ/2 ± у/Y2/2 + є, (6.97)
где при е = +1 имеется два решения, при є = — 1 имеется два решения при |У| > 2 и |У| < 2 - ни одного решения. Имеется тангенциальная критическая кривая при є = +1 с радиусом X = I, которая отображается в вырожденную каустику У = 0, и имеется радиальная критическая кривая при е = —1 с радиусом X = I, которая отображается в каустическую кривую Y= 2.
6.3. Неосесимметричные модели линз
6.3.1. Простые модели эллиптических галактик
Для того, чтобы описать модели эллиптических галактик, необходимо рассмотреть эллиптические линии уровня постоянной плотности. Прямое обобщение модели изотермической сферы с ядром (ISC-модели) приводит к выражению для поверхностной плотности массы
Е(01'02) = [*? + (1-еК + (1 + е№>' (6-98)
где 01,02 - ортогональные координаты вдоль большой и малой осями, измеряемые от центра. Потенциал отклонения ф(ві,02), соответствующий плотности (6.98), довольно сложен. Для частного случая, когда 9С = О, угол отклонения и коэффициент усиления может быть записаны в виде
8TTGEO
ai = -/— о
у/2ее2
^ Г \/2ecos</> 1 8nGEo , Г VTesinф 1
^ctg L(1 -CCOS 2ф)Ч2\ ' = Tl^arth [(1 -CCOS2^j ' і 87rGEo
Ц = 1 " с2 (92 + 9j)42 (1-е cos 2ф)112' (6-99)
гДе ф - полярный угол, соответствующий положению вектора в = (ol, ?2).
Иногда вместо модели эллиптической плотности можно рассматривать модель эллиптического эффективного потенциала линзирования Блендфор-Да и Кочанека (1987), которая значительно проще, и которой иногда бывает и достаточно:
?(01,02) = 4+ (1 - е)92 + (1 + е)92, (6.100) Решая уравнение линзы
у = в-Чф, (6.101)
получим
Ifl fr "X, , (1-е)*'
V92 + (l-e)92 + (l+e)922
У2 = 02 - 9E (1 ~ tI02 (6.102)
V9l + (1~ €)9^1+(1+6)92' ( 176 Глава 6. Модели гравитационных Jilflj..
где в в - радиус Эйнштейна. Коэффициент усиления может быть вычиг-
cjIeh
в данном случае, исходя из его определения, 4
Ц =
9?i_d?i _ d?i d?2 дві дв2 дв2 дві
(6-103)
6.4. Изотермические эллипсоидальные модели
Изотермическая сингулярная эллипсоидальная модель
Рассмотрим модель изотермического сингулярного эллипсоида, Которому соответствует следующее поверхностное распределение массы:
()= 2G V^fTFI = ~2G~C {Щ
где
С ¦•= y/u + Ptl (6.105)
т.е. поверхностная плотность постоянна на эллипсах с малой осью, равной С, и большой осью, равной ?//, и, тем самым, отношение осей равно /. Предполагается, что отношение осей / принимает значения 0 < / < I1 довольно часто считается, что / < 1, а симметричная модель получается в предельном переходе f -? 1. Используя характерный масштаб длины такой же, KciK и в симметричном случае, получим безразмерную плотность поверхностной массы
k^ =^j = ^ (6Л06)
где использованы обозначения
Д(<^>) = ^cos2 tp + р sin2 у, Ь = = хД = sjx\ + /2х2. (6.107)
Изотермическая несингулярная эллипсоидальная модель (модель с ядром)
Обобщим несингулярные изотермические симметричные модели (модели С ядром) на эллиптический случай таким же образом, как ранее обобщили сингулярные изотермические симметричные модели. Вводя TclK же, как и в случае изотермической аксиально симметричной модели, радиус ядра Ce и соответствующую безразмерную величину Ьс = Сс/?о, получим выражение для поверхностной плотности массы
Е(С) = / 1 = Ео (6.108)
2G ,/C2Tcf Vl + CVC? 1
где E0 = л/7у2/(2С?Сс), т.е.
к(Ь) = ,jj .. (6.109)
V ' 2 y/b2 + Ь2 К
Эта модель линзы, описываемая данным распределением плотности массі» (6.107), называется моделью несингулярного изотермического эллипсоида- Изотермические эллипсоидальные модели 177
