Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
------
термическая сингулярная эллиптическая модель
термическая сингулярная эллиптическая модель определяется двумя ^*°метрами: дисперсией скоростей, которая определяет масштаб модели (^обезразмеривании исчезает), и параметром, характеризующим отношение
осей /. Определим также величину
/' = \Л - P- (6.110)
д0тенциал отклонения и уравнение линзы. Уравнение Пуассона, J3UHcaHHoe в полярных координатах, имеет вид
xdx\xdxj + X2 dtp2 хА{іру
и может быть сведено к обыкновенному дифференциальному уравнению
где сделана подстановка ф(х,<р) =: хф(<р). Уравнение (6.112) может быть решено с использованием метода функции Грина (доступное изложение которого можно найти, например, в книге Степанова (1958)). Т.о., получаем выражение для потенциала отклонения
ф{.
x,tp) = ^Jjc jsinvarcsin(/'sinv>) + cos?> costp^j j =
= J^l sin tp\ arccos Д + I cos v>|arsh^
/J
(6.113)
Функция ф описывает девиацию потенциала отклонения от соответствующего потенциала для модели сингулярной изотермической сферы, поскольку этот потенциал описывается функцией Ф{х) = х.
Учитывая то, что угол отклонения равен градиенту потенциала отклонения (a = Vi/)), получим уравнение линзы
у = X — ^arsh (^j cos ei + arcsin(/'sin (6.114)
или
у = х— ^-р- ?sign(costp)arch~e\ + sign(sin^)arccosДег| , (6.115) гДе е, - единичные векторы в направлении осей х,. Поскольку
lim /-+і
arsh (Jj cos =cos tp, Um arcsin(/'cos = sin<^,
тем самым, угол отклонения модели сингулярного эллипсоидального распределения сводится в пределе /-+Ik углу отклонения сингулярной изотермической сферы. 12-2441 178 Глава 6. Модели гравитационных Jilflj..
Коэффициент усиления, критические и каустические крив^
Дифференцируя уравнение линзы, получаем выражение для матрицы 5}Ко' би в зависимости от к и tp
а_( 1 — 2fcsin2<^> ksin(2tp) \
Л~\ *ein(2V) 1 — 2fccos tp ) ^6-11?
Тогда коэффициент усиления равен ц = 1/det А = 1/(1 — 2к), а след ра. вен tr А = 1 + det А, тем самым, коэффициент усиления и след матрицу Якоби формально эквивалентны для модели сингулярной изотермической сферы И сингулярного изотермического эллипсоида. Критические кривые определяются из соотношения det А(х) = 0, в этом случае к = 1/2 или X = y/J/A(tp). Подставляя выражение для критической кривой в уравне-----™""~ы, получаем параметрическое уравнение для каустической кривой
•л у/т .ff ^
Уі = — COS^ - — arcsh I — costpJ ,
л/7 л/7
У2 = -д- sin tp - — arcsin(/sin tp). (6.117)
Большой коэффициент усиления и временная задержка. В случае, если источник находится вблизи каустической кривой, но внутри нее, то имеется два изображения с противоположных сторон от критической кривой. Тогда имеет место следующее соотношение для коэффициента усиления (Корманн и др. (1993)):
и для временной задержки:
CJt = 2^(1 (6.119)
где Sx - разделение изображений в безразмерных единицах. Заметим, что в случае / = 1 особенность вырождается в точку, и соотношения (6.118. 6.119) теряют смысл. Эти соотношения также теряют смысл при значениях полярного угла tp = 0, тг/1, п, Зл/2, т.е. в случаях, когда источник находится вблизи особенности типа сборки. Получим (следуя КорманНУ и др. (1993)) типичные значения коэффициента усиления и временной задержки, т.е. если V = 220 км/с, Zd = 0.5, Z3 = 2 во вселенной Фридмана-Де Ситтера с постоянной Хаббла H0 = 100 h ¦ км/(с • Мпк), а модель сингуляр' ного изотермического эллипсоида характеризуется параметром / = 0.8,ь значение полярного угла равно tp = 7г/4, то ? 5 библиографические замечания 179
е jjff обозначает угол, разделяющий эти два изображения. Отсюда следу-что два изображения с коэффициентом усиления |д<| = 20 имеют угол, -еляющий изображения порядка 0".36, и временная задержка порядка ^x часов (если h = 0.5).
Можно привести выражение для сечения усиления точечного источника д{Цр > ?)' которому соответствует коэффициент усиления больше, чем ^ +оо) (Корманн и др. (1993)):
+iIriTi^- («»)
Можно заметить, что компонент, пропорциональный ц~2 и учитывающий вклад складок, не зависит от параметра /. С другой стороны, компонент, пропорциональный ц~5^2 и учитывающий усиление источников вне сборок, расходится при /-4І, поскольку в этом случае каустики вырождаются. Изотермическая несингулярная эллипсоидальная модель Уравнение линзы. Уравнение линзы для изотермической несингулярной эллипсоидальной модели может быть получено с использованием комплексного представления в теории линз (Корманн и др. (1993)):
У1 = X1 - & In у2 = X2 + ^(argfl - argS), (6.122)
где
(PV^+W± X1)2 + P^ 2 2 _ ч _ ,
(/X2 ±/'&cXl)2 +P2Vixl ' -7 1 JJ С г, К J
R := X21 + fx\ - P2(Ъ2 + Ь2С) - 2if2 f y/f2 + Ь§*2. (6.124)
Ясно, что при bc = 0 эти уравнения сводятся к уравнению линзы в модели сингулярной изотермической эллиптической модели.
Сдвиг. Также как и уравнение линзы из комплексного представления Для сдвига, можно получить его компоненты:
Ti = ІҐ(хї - х\) - Р2Ь2С)Р, 72 = 2/2X1X2P, (6.125)
Где
P ._ _VT_ je, 2 , ,4 2«
• /<х* - Pf2Hix21 - X2) + Г*Ы lVJ[Xl + 1 Х2)
