Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Эйнштейна-Хвольсона ?о = ^2Rs—j^—^- Отсюда получаем m(x) = 1, тогда уравнение линзы имеет вид у = х — 1/х, которое имеет два решения:
X1,2 = (у± Vy5Ti)/2, (6.33)
т.е. существует два изображения с двух сторон от линзы. Коэффициент усиления для изображения, находящегося в точке х, ^ = (і — 1/х4) 1 . Подставляя выражения для решений уравнения линзы в выражение для коэффициента усиления, получим
„1а=±1[-У+Ш±±2). (6.34)
4 Vv^+4 у 1
Общий коэффициент усиления есть сумма абсолютных величин этих двух коэффициентов усиления:
Цр = щ-Ц2 = -jT==- (6.35)
У у у +4
Из формулы (6.12) для коэффициента усиления получаем ф = In х, и отсюда выражение для временной задержки для этих двух изображений
AGM
cAt = -^~(l+zd)r(y), (6.36)
где
r(y) = W^ + b%±j + ;/. (6.37)
г Vy +4-у
Поскольку два изображения обладают соизмеримой яркостью только если У < 1, и, поскольку т(1) и 2.08, то из соотношения (6.36) получаем, что временная задержка такого же порядка как время, необходимое для пересечения радиуса Шварцшильда. Для источника с однородной поверхностной яркостью с радиусом R получаем, что максимальный коэффициент усиления равен Umax = л/4 + R2 /R-Il-2441 162 Глава 6. Модели гравитационных Jilflj..
Диски как модели линз
Рассмотрим диск с радиусом р, с поверхностной плотностью массы ?(?) ^ массой
M = 2п?щ№. (6.38)
Выберем масштаб длины в плоскости линзы равным радиусу Эйнштейна
?о = у ^Rs Qd', где радиус Шварцшильда соответствует общей массе
диска, тогда безразмерный радиус диска равен хо = р/?о-Однородный диск. Рассмотрим случай однородного диска E = Eo. Тогда M = 7гр2Ео и к = fco = Xq2, и уравнение линзы имеет вид
_ Г X - х/хо
\ X — Xjx
при |х| < X0
при |х|>х0 • (Ь'39>
Уравнение (6.39) может быть решено. При хо < 1 источник, находящийся в точке у, имеет три изображения, если 0 < у < (1 — Xq)/xo, причем
одно из этих изображений внутри диска в точке х = —Х° , у, два других
1 - х0
определяются формулами (6.33); два изображения, если у = (1 — х0)/го, одно изображение на краю диска, другое вне в точке х^1; одно изображение, если у > (1 — xo)jxo в точке X= у/2 + у/у2/4 + 1. При Xo > 1 имеется лишь одно изображение. Это изображение находится внутри дис-
Xo
ка в точке X = -Tt/, если 0 < у < (1 — хп)/хо, и вне диска в точке
_LzxO
X = у/2 + у/У2+ 1 в противном случае.
Заметим, что в любом случае усиление изображения вне диска равно (1—fco)2. Его четность всегда положительна, что соответствует максимуму (минимуму) потенциала Ферма при хо < 1 (хо > 1).
В частном (вырожденном) случае хо = 1 (в этом случае ко = 1), тогда все точки диска отображаются в точку у = 0 на оптической оси. Т.о., такая линза действует как идеальная тонкая линза, фокус которой находится в точке, где находится наблюдатель. Ясно, что при заданном значении физической плотности массы E величина ко зависит от расстояний. При fco = 1 имеет место равенство р = ?о, тем самым, 2RsDdDds = р2D,. Последнее равенство симметрично относительно величин Dd, Dds и сводится в случае евклидовых расстояний, когда D, = Dd-\- Dds, к элементарной формуле
линзы ——1- —— = —, где введено следующее обозначение / := p2/(Rs)i Dd Dds J
т. е. величина / представляет собой фокусное расстояние тонкой линзы. Если наблюдатель находится между фокусом и линзой, то он может видеть только одно изображение источника, но если фокус находится между линзой и наблюдателем, то имеется три изображения. Заметим, что усиление может быть весьма значительно в том случае, если наблюдатель находится вблизи фокуса. g j Аксиально симметричные линзы 163
который класс неоднородных дисков. В случае, если хо < 1, ок-ясность радиуса у = (1 — х\*)/х\ разделяет область, где имеется три изо-^ ли'я, от области, где имеется лишь одно. Соответствующая окружать радиуса хо в плоскости линзы является границей диска и той кривой переходя через которую, изображения или возникают, или исчезают. feu не менее, эта кривая не является критической кривой согласно опре-епеняю, данному ранее, поскольку на ней отображение линзы перестает быть дифференцируемым. Предположим, что функция к(х) на краю диска дифференцируема. Тогда существует точка хс вблизи хо, что производная dy/dx обращается в нуль в этой точке, и, тем самым, соответствующая окружность в плоскости источника является каустической кривой типа складки, Сглаживание на краю диска проведем следующим образом:
а) предположим, что в центральной области |х| < xi диск остается однородным,
б) при положительных значениях х масштабированный угол отклонения имеет один максимум (так же, как и в случае однородного диска).
Опишем качественные свойства данного класса неоднородных дисков. Введем следующие обозначения:
S := \j2RsDd/р2, р := \JDa./Ds (6.40)
т.о., что 0 < р < 1 и Xq1 = ps < S. Заметим, что 2Rs/P есть мера компактности линзы, S увеличивается при увеличении расстояния от линзы до наблюдателя, а при фиксированном значении s величина р увеличивается с увеличением расстояния источника от линзы. Рассмотрим следующие случаи значений параметров:
