Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
5.3. Дифракция
5.3.1. Интенсивность света вблизи каустики
Вычисление интенсивности света вблизи каустики (особенности типа складки) проведено, например, в книге Ландау и Лифшица (19886)-Приведем результат, используя введенные в этой книге обозначения-Рассмотрим каустику и интенсивность света вблизи нее. Тогда, если радиус кривизны каустики обозначить как р, абсолютную величину волнового вектора света как к, ах- расстояние от каустики Д° точки, в которой мы вычисляем интенсивность света (направление к центру кривизны каустики мы считаем положительным). Интенсивность вблизи каустики определяется следующей формулой (Ландау, 53 Дйфрашщя_ дифіиип (19886)):
\ P J
Ф x
153
(5.105)
где _ Функция Эйри, определяемая формулой (Ландау, Лифшиц (19886); Фок (1970))
Ф(*) = ^ ^00 cos + (5.106)
g настоящем разделе используем определение функции Эйри, аналогичное определению Фока (1970), Ландау и Лифшица (1974), Ландау и Лифшица (19886), связанное с предыдущим определением функции Эйри следующим образом: Ai(x) = Ф(а:)Д/яг. Константа А определяется, исходя из средней интенсивности в области света, которой соответствуют значения х < 0, а именно,
A = TvcX,
(5.107)
где I - среднее значение интенсивности в области света. Используя известное асимптотическое поведение функции Эйри при больших положительных значениях x (область тени), имеем (Ландау, Лифшиц, 19886)
A (-Akx3I2 /2\
2^expV—з—VPJ-
(5.108)
При больших по абсолютной величине отрицательных значениях х имеем
2\/—Ї
sin
-2fc(-x)3/2 /2 ff
/2 »1 Го+ 4.
(5.109)
Максимальное значение, равное 0.949, функция Эйри принимает при ^ = —1.02, поэтому наибольшая интенсивность достигается при х(2к2/Ру/3 = -1.02 и равна
I = 2ЛЪАк1/3р~1!6. (5.110)
В точке касания луча с каустикой х = 0 имеем
/ = 0.89ЛА:1/3р-1/6- (5.111)
Тем самым, вблизи каустики интенсивность пропорциональна к1'3. 154 Глава 5. Волновая оптика гравитационных J1lljl
5.3.2. Обсуждения
В работе Шрамма и др. (1992) приведены соотношения для скорости дви%е ния каустических поверхностей, причем для случая каустической поверх ности, образованной двумя точечными массами на плоскости, даны явнь, формулы. Рассмотрены перестройки каустических поверхностей при Их движении, в том числе появление новых каустических поверхностей ( Так называемых "духов" в терминологии Шрамма и др. (1992)).
Известно, что каустика может являться особенностью более высокого порядка. Рассмотрим эту возможность. В случае, если каустика образует особенность типа сборки, то интенсивность в ее окрестности пропорциональна I ос к1?2. Тем самым, если повышение светимости квазара согласуется с данной формулой, то это изменение связано с пересечением каустики типа складки.
При гладком отображении плоскости на плоскость могут появляться лишь особенности типа складки и сборки, согласно известной теореме Уит-ни (см. Брекер и Ландер (1977)). Но каустические поверхности формируются в трехмерном пространстве, и потому могут возникать особенности типа ласточкина хвоста, пирамиды и кошелька (Арнольд, 1990), причем интенсивность света вблизи них связана с волновым числом соотношением / ос fca, где a = 3/5 для ласточкина хвоста (особенность типа A4, если классифицировать особенности с использованием групп Кокстера, как предложено в работе Арнольда (1972)), a = 2/3 для эллиптической и гиперболической омбилики (кошелька и пирамиды особенности типа D4). Если особенность типа складки образует поверхность в трехмерном пространстве, а особенность типа сборки - кривую, то особенности типа ласточкина хвоста, пирамиды и кошелька в случае общего положения соответствуют точке в трехмерном пространстве. Поскольку каустические поверхности являются движущимися, то возникают и особенности типа бабочки ( a = 2/3) и параболической омбилики ( a = 3/4). Причем последние две точки возникают лишь в отдельные моменты времени (точки в четырехмерном пространственно-временном многообразии). Напомним, что подобная ситуация имела место при применении результатов теории особенностей лагранжевых отображений к проблеме образования крупномасштабной структуры (Арнольд и др. (1980)), где рассматривалось обобщение на трехмерное пространство теории формирования "блинов" Зельдовича.
Конечно появление особенностей более высокой коразмерности менее вероятно, но, тем не менее, следует заметить, что структура галактики имеет фрактальную структуру (Мандельброт, 1988) и, как следствие, фрактальную структуру имеет и каустическая сеть, т.е. каустическая сеть, образованная звездами, окутана каустической сетью, образованной планетами и другими малыми телами галактики. По этой причине могут появляться и особенности более высокой степени вырождения. Т.о., кривая блеска квазара также имеет фрактальную структуру, т.е. на фоне повышения светимости квазара, обусловленного пересечением каустической поверхности, образованной звездами, может происходить повышение свети- Библиографические замечания
$.4------
155
„ обусловленное пересечением каустических поверхностей, образован-М планетами и другими компонентами галактики-линзы. "^Несмотря на х0] чт0 полученные в работе выводы сделаны при рас-отрении стандартной модели микролинзирования, полученной с учетом '"которого набора принятых гипотез ( нгіпример, линза расположена в од-дой плоскости, траектория лучей заменяется двухзвенной ломаной линией, Jie учитываются в явном виде релятивистские эффекты, т.е. рассматривается линейная теория гравитации и т.д.), приведенные выводы остаются справедливыми и для значительно более общих моделей гравитационного линзирования. По крайней мере, они справедливы для моделей линзы, для которых семейства лучей являются лагранжевыми, а то, что это так в достаточно общем случае, показано в работе Арнольда (1983).
