Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Захаров А.Ф. -> "Гравитационные линзы и микролинзы " -> 58

Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.

Захаров А.Ф. Гравитационные линзы и микролинзы — M.: Янус-К, 1997. — 328 c.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка): gravitacionnielinzi1997.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 127 >> Следующая


5.4. Библиографические замечания

Основные идеи поиска асимптотических решений достаточно популярно изложены Федорюком (1980), а также Тихоновым, Васильевой и Свешниковым (1980). Обсуждение асимптотических решений для уравнений с частными производными имеется в книгах Арнольда (19896), Маслова и Федорюка (1976), а также в книге Маслова (1977) (где обсуждается применение этого метода для нелинейных уравнений). Основные понятия волновой оптики гравитационных линз введены в соответствии с изложением Шнайдера и др. (1992). Детальное изложение волновой оптики можно найти в фундаментальной монографии Борна и Вольфа (1973). Изложение взаимной когерентности изображений вблизи каустики основано на работе Захарова и Манджоса (1993). Краткое описание основных методов поиска асимптотических решений интегралов, а именно, метода перевала (в англоязычной литературе этот метод называется методом наискорейшего спуска) и метода стационарной фазы можно найти в монографии Борна и Вольфа (1973). Детальное изложение этих методов имеется в книге Федорюка (1977). Дифракция в оптике гравитационных линз проанализирована в работах Захарова (1993а, 1993b, 1993с, 1994а, 1994b). Результаты вычислений быстро осциллирующих интегралов, соответствующих различным типам устойчивых особенностей, можно найти в книгах Постона и Стюарта (1980), Гилмора (1984), Арнольда (1990), монографии Арнольда и др. (1984), а также в обзоре Арнольда (1986). Особенно детально в книгах Постона и Стюарта (1980) и Гилмора (1984) проанализировано распределение интенсивности вблизи особенностей типа сборки и типа складки, описыва-емое с помощью функций Эйри и Пирси соответственно. Глава З

Модели гравитационных линз 6.1. Аксиально симметричные линзы

6.1.1. Общие свойства Угол отклонения

Рассмотрим множество центрально симметричных поверхностных распре. делений массы ?(?) = ?(|?|). Тогда имеем следующее выражение для масштабированного угла отклонения:

где к(х) = <г(?ох)/Scr, Scr = C2DaI(AnGDdDds)- Поскольку имеет место центральная симметрия, то можно выбрать положительное направление оси Xi1 что X = (х, 0), х > 0. Вводя полярные координаты х' = х'(sin tp, cosip), получим для центрально симметричного распределения массы к(х') := к(х'). Используя выражение для якобиана d2x' = x'dx'dtp, получим

/ ч 1 Г 'J Ч-< 'ч fj X-х'costp Ol(X) = -Jo ^dXk(X)Jo (6.2)

«,(„ = 1 f x'dx'k(x') fj dtp ^ + cos у. (6.3)

Нетрудно видеть, что

Г dtp 7'sin^-= о. (6.4)

J0 x2 + х' — 2хх' cos tp

Т.о., а параллелен х. Тогда вектор у, определяющий положение источника, также параллелен вектору х. С использованием методов теории функций комплексной переменной, в частности, теории вычетов нетрудно вычислить интегралы вида

I=I R(cos tp, sin tp)dtp, (6.5) Jo

например, (при |а| < 1)

Г—dj?— = -7^= (6-6)

J0 1+acostp у/1 _а2 gj Аксиально симметричные линзы 157

(СвеШНИКОВ и Тихонов (1967)). Тогда легко видеть, что

Ґ" dy X-X1COSIf _ Ґ О, при *'> X,

J0 X2 + х'2 - 2хх'COSip \ 2«/х, при х < х. ^ ' '

Поэтому из соотношения (6.2) получаем

а(х) := C1(X) = - Г x'dx'k(x') = (6.8)

XJ о X

Где введено определение

m(x) := 2 / x'dx'k(x'),

Jo

что обозначает безразмерную массу внутри круга радиуса х.

Напомним, что имеет место соотношение между нормированным углом отклонения а и ненормированным углом а

a^ = оЖа

Ш- (б-9)

Тогда, используя соотношение (6.8), получим

= = (6.10) где введено следующее определение массы внутри круга радиуса

М(?) := 2* /V^'E(S')-

Jo

Из формулы (6.10) нетрудно видеть, что угол отклонения центрально симметричного распределения массы совпадает с углом Эйнштейна для массы заключенной внутри круга радиуса Отсюда получаем скалярное уравнение линзы для сферически симметричного распределения массы

у = X — а(х) = х — т(х)/х, (6-И)

где X может принимать любые действительные значения, т(х) := т(\х\). Исходя из соображений симметрии, можно ограничить рассмотрение только областью значений положений источника у > 0. Поскольку т(х) > 0, то Из Уравнения (6.11) получаем х > у для любого положительного решения х, а для любого отрицательного решения X должно выполняться неравенство -гп(х)/х > у. 158 Глава 6. Модели гравитационных Jilflj..

Потенциал отклонения ф и потенциал Ферма

Для потенциала отклонения получаем (предполагая, что х > 0)

2 POO P 27Г _

ф(х) = — / x'dx'k(x') / dtp In X2 + xa — 2хх' cos (p. (g

f Jo Jo iI

Интегрируя выражение (6.12), получим

/X POO

x'dx'k(x')2 J dx'dx'k(x')]n х. (6.13)

Поскольку потенциал отклонения определяется с точностью до аддитивной константы, то можно добавить следующую константу к выражению (6.13):

ф(х) = 2 J x'dx'k(x') In (^) • (6.14)

Дифференцируя по параметру х выражение (6.14), получим a(x) = dф(x)/dx. Тогда для потенциала Ферма ф(х,у) имеем следующее выражение:

ф(х,у) = ^(х-у)2 -ф(х), (6.15)

и тогда уравнение линзы эквивалентно уравнению

Эф/Эх = 0. (6.16)

Матрица Якоби

Рассмотрим матрицу Якоби. Запишем угол отклонения в точке х = (xi, ?2) в виде
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed