Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Из условия замкнутости полного тока можно получить и выражения для тока смещения и его плотности. Обратимся снова к примеру с конденсатором. Идеализируя систему, можно сказать, что по проводу течет только ток проводимости, а через конденсатор — только ток смещения. Ток смещения дополняет ток проводимости
350
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
[ГЛ. IV
до замкнутого тока. Поэтому ток проводимости в проводе должен быть равен току смещения в конденсаторе: <&с„ = Q, где Q — заряд на той пластине конденсатора, к которой течет ток. Очевидно, <2 = 5сг = SD/(4n). Дифференцируя по времени и разделив на S, снова получаем
• - — Л
Jen ¦ 4л
Таким образом, тремя различными способами мы приходим к одному и тому же выражению для плотности тока смещения.
5. Токи смещения существуют только там, где меняется электрическое поле (точнее, электрическая индукция D). Поэтому физическое содержание гипотезы Максвелла о токах смещения сводится к утверждению, что переменные электрические поля являются источниками магнитных полей. Это открытие принадлежит всецело
. Максвеллу. Оно вполне аналогично открытию электромагнитной индукции, согласно которому переменные магнитные поля возбуждают поля электрические.
6.: Ток смещения в диэлектрике состоит из двух существенно различных слагаемых. По определению вектора электрической индукции D — Е + 4лР, а потому
/СЯ = ±Ё + Р. (81.9)
Величина Р называется плотностью тока поляризации. Вектор поляризации определяется выражением Р= Суммирование ведется
по всем связанным зарядам, находящимся в единице объема вещества. Дифференцируя это выражение по времени, получим
/пол == Р ~
где vt — скорость движения і-го заряда. Таким образом, ток поляризации есть электрический ток, обусловленный движением связанных зарядов. Последние принципиально ничем не отличаются от свободных зарядов. Поэтому нет ничего неожиданного в том, что токи поляризации возбуждают магнитное поле. Принципиально новое содержится в утверждении, что и вторая часть тока смещения
Ё, которая не связана ни с каким движением зарядов, а обусловлена только изменениями электрического поля во времени, также является источником магнитного поля. Даже в вакууме всякое изменение электрического поля во времени возбуждает в окружающем пространстве магнитное пож. Открытие этого обстоятельства — наиболее существенный и решающий шаг, сделанный Максвеллом при построении своей электродинамики.
СИСТЕМА УРАВНЕНИИ МАКСВЕЛЛА
351
ЗАДАЧИ
1. Пространство между обкладками длинного цилиндрического конденсатора заполнено однородным диэлектриком со слабой электропроводностью. Когда конденсатор заряжен, в диэлектрике от одной обкладки к другой течет электрический ток. Пренебрегая краевыми эффектами, найти напряженность магнитного поля между обкладками.
Ответ. Н = 0.
2. Заряженный и отключенный от источника электричества плоский конденсатор медленно разряжается объемными токами проводимости, возникающими в диэлектрике между обкладками из-за наличия слабой электропроводности. Пренебрегая краевыми эффектами, вычислить напряженность магнитного поля внутри конденсатора.
Решение. Если а — поверхностная плотность электричества на положительной обкладке, то D = 4яст и, следовательно, jcM=:-^D = a. По закону сохранения электрического заряда /= — ст. Следовательно, У + Усм = /полн = 0. Магнитное поле в конденсаторе разно нулю.
3. Заряженный и отключенный от источника электричества плоский конденсатор, состоящий из двух одинаковых дисков радиуса R, пробивается электрической искрой вдоль своей оси. Считая разряд квазистационарным и пренебрегая краевыми эффектами, вычислить мгновенное значение напряженности магнитного поля внутри конденсатора (в зависимости от расстояния г до его оси), если сила тока в электрической искре в рассматриваемый момент времени равна 3.
Решение. В силу симметрии магнитные силовые линии будут коаксиальными окружностями с общей осыо, совпадающей с осью конденсатора. Поле Н найдется по формуле
где ісм = Зг^/Іі2 — ток смещения, пронизывающий круг радиуса г. В результате получим
4. Плоский конденсатор состоит из двух одинаковых металлических дисков, пространство между которыми заполнено однородным диэлектриком с диэлектрит ческой проницаемостью є. Расстояние между внутренними поверхностями дисков равно d. Между обкладками конденсатора поддерживается переменное напряжение V= Ко sin at. Пренебрегая краевыми эффектами, найти магнитное поле в пространстве между обкладками конденсатора.
Ответ. Н = ^- V0 cos a>t, где г — расстояние от оси конденсатора. Магнитные силовые линии имеют форму коаксиальных окружностей с общей осью, совпадающей с осью конденсатора.
1. Дополнив основные факты из области электромагнетизма установлением магнитных действий токов смещения, Максвелл смог написать систему фундаментальных уравнений электродинамики. Таких уравнений четыре. В интегральной форме они имеют
§ 82. Система уравнений Максвелла
352
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
(ГЛ. IV
ВИД
|и=тН^іт)й' <82Л>
і s
§Edl = -^^-dS, (82.2)
L S
<$> (D dS) = 4я^ р dV, (В2.3)
s
§{BdS) = 0. (82.4)
