Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы прийти к обобщенным уравнениям, воспользуемся следующим наводящим рассуждением. Поскольку дивергенция левой части уравнения (81.4) тождественно равна нулю, в правой части этого уравнения должен стоять вектор, дивергенция которого также всегда равна нулю. В случае стационарных электромагнитных полей этот вектор должен переходить в J. Легко указать вектор, удовлетворяющий этим условиям. Дифференцируя по времени соотношение div D = 4л р, получаем
f-ILdiVjD = 0,
или ввиду уравнения (81.1)
div(y+i/») = °. (81.5)
Величину
•А. = Т;В (81.6)
Максвелл назвал током (точнее, плотностью тока) смещения, а сумму j + усм — полным током. Таким образом,
div (У+Усм) = 0, (81.7)
т. е. полный ток всегда соленоидален. Поэтому противоречие с уравнением (81.1) устранится, если в уравнении (81.4) ток проводимости j заменить полным током, т. е. написать
rot 7/ = ^-(/+/„). (81.8)
Так и поступил Максвелл.
Приведенные рассуждения ни в какой мере не могут служить доказательством уравнения (81.8). На них следует смотреть только
348
УРАВНЕНИЯ М А КС В Е Л Л А
[ГЛ. (V
как на один из бесконечного множества способов устранения математического противоречия между уравнениями (81.1) н (81.4). А что таких способов бесконечно много, видно уже из того, что не возникнет новых математических противоречий, если в правой части уравнения (81.8) добавить произвольный вектор, дивергенция которого • равна нулю. Настоящим доказательством уравнения
(81.8) могут служить только опытные факты, подтверждающие это уравнение.
3. К необходимости обобщения уравнений (81.3) и (81.4) можно прийти также с помощью других соображений. Приведем два примера.
П р и м е р 1. Пусть в неограниченной однородной среде помещен металлический шар, которому сообщен электрический заряд Q (рис. 206). Если среда проводящая, то появятся электрические токи, текущие в радиальных направлениях. Они будут возбуждать магнитное поле. При попытке указать его направление возникает следующая трудность. Вектор В не может иметь радиальной составляющей. Система сферически симметрична. Если бы радиальная составляющая вектора В существовала, то она была бы одной и той же во всех точках всякой сферы S, концентрической с поверхностью шара. Радиальная составляющая В на сфере S была бы всюду направлена либо от центра, либо к центру шара. В обоих случаях поток вектора В через сферу S был бы отличен от нуля, что противоречит уравнению (58.1). Следовательно, вектор В должен быть перпендикулярен к радиусу, проведенному нз центра шара к рассматриваемой точке. А это также невозможно, так как все направления, перпендикулярные к радиусу, ничем не выделены —все они совершенно равноправны. Единственная возможность, допускаемая симметрией шара, состоит в том, что векторы В и Н всюду должны равняться нулю. Но в таком случае должен равняться нулю и ток /, как это непосредственно следует из уравнения (81.4), Значит, уравнение (81.4) и эквивалентное ему уравнение (81.3) в рассматриваемом случае не могут быть верными.
Для устранения возникшего противоречия необходимо допустить, чго магнитные поля возбуждаются не только токами проводимости, а еще чем-то. К току проводимости 3 надо что-то добавить, чтобы уничтожить возбуждаемое нм магнитное поле. Эта добавка и есть ток смещения. Его величина з7см определится нз условия 3 + о7см = 0. Полный ток прозоднмости, текущий от заряженного шара, связан с зарядом Q соотношением & = —dQ/dt, а потому з7см = dQ/dl. По закону Кулона Q = гЮ. Дифференцируя это выражение и разделив результат на поверхность сферы 4лг2, найдем плотность
ТОК СМЕЩЕНИЯ
349
тока смещения:
і =-^ = ±D.
¦’см 4лл'2 4л
Это выражение совпадает с (81.6).
4. Пример 2. Соединим проводом обкладки плоского заряженного конденсатора (рнс. 207). По проводу потечет электрический ток. Допущение, что в этом случае применима формула (81.3), снова приводит к трудностям. Циркуляция вектора Н, стоящего в левой части уравнения (81.3), зависит только от формы и расположения контура L. Она — величина вполне определенная. Между тем ток о?, стоящий в правой части того же уравнения, таким свойством не обладает.
Для определения (S' надо мысленно натянуть на контур L какую-то поверхность S и найти пронизывающий ее ток. Однако сила переменного тока может меняться вдоль провода. В этих случаях величина
3 будет зависеть от того, в каком месте поверхность S пересекается с проводом.
С особой отчетливостью указанная неопределенность проявится, если поверхность S провести между обкладками конденсатора, нигде не пересекая провода.
Тогда 3 — 0. Для устранения неопределенности к току в уравнении (81.3) надо добавить какое-то слагаемое чтобы сумма + е7см не зависела от выбора вспомогательной поверхности S. Это слагаемое и есть ток смещения.
Независимость полного тока от формы поверхности,
натянутой на один и тот же контур L, эквивалентна утверждению, что полный ток через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю. Токи, удовлетворяющие этому условию, не совсем удачно называются замкнутыми. Замкнутость токов не следует понимать в смысле замкнутости линий тока. Если линии тока замкнуты, то и сами токи также замкнуты. Обратное справедливо не всегда: линии тока в случае замкнутых токов не обязательно должны быть сами замкнутыми. Таким образом, формальное содержание гипотезы Максвелла сводится к утверждению, что полные токи всегда замкнуты. Токи проводимости, если они не замкнуты, замыкаются токами смещения.
