Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
где А и S - ее амплитуда и фаза соответственно. По аналогии со случаем
однородной среды можно ввести локальный волновой вектор к и локальную
частоту со:
k = VS, V, (3.2)
ct ' '
Подставим затем выражение (3.1) в описывающее волну уравнение и разложим
амплитуду в ряд по малому параметру, представляющему собой отношение
периода или длины волны к характерному временному пли пространственному
масштабу среды.
В нулевом приближении получаем дисперсионное соотношение Ф (со, к, х,
t) - 0, или
со - й (к, ж, t). (3.3)
С учетом (3.2) соотношение (3.3) является уравнением в частных
производных первого порядка (уравнение Гамильтона - Якоби). Уравнение
первого приближения обычно имеет вид закона сохранения:
-|L + Vcg/ = О (1=А*), (3.4)
где / - интенсивность волны, a cg - ее групповая скорость:
cg = dQ/dk. (3-5)
Из дисперсионного соотношения (3,3) можно найти характеристические
уравнения, определяющие вид соответствующих волне
*) Результаты данного параграфа получены совместно с Г, И. Бабкиным
И Б. М. Шевцовым, (Акуст. журн., 1980, т. 26, № 4),
323
лучей:
dx dil dt ~dk
где d/dt - d/di - .
и шпеисшшисти
Подобный подход к теория волн строго обоснован с помощью вариационного
принципа (см., например, 1160]).
Как показано в пятой главе, для любого уравнения в частных производных
вида (3.3) можно ввести плотность вероятностей в фазовом пространстве,
для которой удается написать линейное уравнение эволюции (кинетическое
уравнение, или уравнение Лиувилля). При наличии в задаче случайных
параметров это уравнение является стохастическим и подлежит
дополнительному усреднению по ансамблю реализаций параметров. С учетом
(3.8) в число переменных этого уравнения легко включить / (ж, t). Однако
для нахождения статистических характеристик интенсивности волны можно
воспользоваться более простым подходом. Как показано в гл. 5, легко
написать замкнутое кинетическое уравнение для величины
Ф (к, ж, t) - I (х, t) 6 (к (х, t) - 7с), (3.9)
причем по форме оно совпадает с уравнением для плотности вероятностей
лаграюкевых координат ж (t), к (t) (лучей)
= о. (З.Ю)
at дк 4
Согласно определению (3.9) с помощью величины Ф можно найти интенсивность
(плотность энергии) волны
1(ж, t)= J dkO(k, ж, t) (3.11
и плотность потока энергии
И (х, t) ----- Ц dk (к, ж, t). (312)
В соответствии с уравнением (3.10)
JL.1-Vn = 0. (3.13)
Отсюда следует, что величину Ф (к, ж, t) можно отождествить с лучевой
интенсивностью, а уравнение (3.10) - с уравнением переноса излучения в
описанном выше геометрическом приближении.
Пусть теперь частота волны со задана и остается неизменной.
Предположим, кроме того, что волна слабо отклоняется от перво-
• , = - YQ - = - (3.6)
dt ' dt at ' V >
Имеютсй, кроме того, уравнения для фазы
dS ^ п п
-- ?2 - р . (о. t)
dt 1 в и ' ;
-/V,V (3.8)
324
начального направления распространения, которое примем за одну из осей
координат. Обозначим выделенную координату тогда при х О к /,-0 = (/ф 0,
0). Дисперсионное соотношение можно разложить по степеням величины (к -
к0). Ясно, что в полученном разложеппп имеется первая степень малой
величины /,ч - А? (более высокие степени отбросны).
В результате получим уравнение
= Q (<о, &j_, acj_, %). (о. 14)
в котором, вообще говоря, достаточно оставить первые пепсчезаю-щие члены
разложения по (здесь и xL - соответственно проекции векторов к п х на
плоскость, перпендикулярную оси |). Это уравнение аналогично соотношению
(3.3), в котором выделенная координата | играет роль времени. Теперь
можно использовать все приведенные выше рассуждения п учесть зависимость
параметров среды от координаты Е. В том случае, когда радиус корреляции
по | значительно больше длины волны, но существенно меньше проходимого ею
расстояния, можно применить методы, описанные выше для 6-коррелироваштых
случайных процессов. Такой способ применялся в предыдущих параграфах.
В качестве конкретного примера рассмотрим в описанном приближении
распространение скалярной волны в плоском волноводе, показатель
преломления которого изменяется пропорционально квадрату иоперечнохт
