Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
= J dp'А (р) <и (х, р) + и* (х, р) = 0.
Следовательно, в геометрооптическом и диффузионном приближениях имеют
место равенства
(I(V±Sr/ = ~A±D(0)x = k2~y, (IS) = -^A±D(0)x, (2.4)
оо
где у = л2 ^ dx х3ФЕ (к) х = <(V±S0)2) - дисперсия угла прихо-
о
да волны в точку наблюдения в первом приближении МПВ в приближении
геометрической оптики.
318
В приближении геометрической оптики и диффузионном приближении можно
получить также замкнутое уравнение для функции
G (х, р; S, и)={1 (х, р)6 (S (х, р) - S) б (TS (х, р) - н)>,
описывающей корреляции интенсивности с фазой и градиентом фазы волны
[158]. Дифференцируя эту функцию по ж и используя уравнения (1.24),
(1.36), (1.37) восьмой главы, после несложных преобразований получаем
уравнение
дС 1 , " " , 1 , дС к2 А (0) ff2G к'1 , /А, д2С,
-- + - (ttVJ G -г ж и- - + _ A J) (0) .
(2.5)
Для плоской падающей волны, в силу статистической однородности всех полей
в плоскости х = const, = 0 и уравнение (2.5) упрощается:
дС . 1 дС к2Л (0) Л/ , к2 . o-J /0
-*Г -г -Ш тг = -^г1 f ТГ^ ¦ (2'6>
Это уравнение обладает той особенностью, что для величин </5,,г
(д5/<9ра)п> из него может быть получена замкнутая конечномерная линейная
система уравнений первого порядка, решение которой не вызывает особых
затруднений. Полученные выше выражения (2.4) являются частным случаем
решений такой системы уравнений.
Отметим, что можно проинтегрировать уравнение (2.5) по S, т. е.
исключить фазу волны из рассмотрения. Мы приходим при этом к уравнению
^L + ±(uV±)G=JtALi){0)^. (2,7)
Уравнение (2.7) совпадает, естественно, с уравнением для плотности
вероятностей, описывающим диффузию отдельного луча, так как, согласно
результатам гл. 5, уравнение для величины G совпадает с уравнением для
плотности вероятностей лагранжевых переменных, т. е. характеристик лучей.
Если же искать уравнение для плотности вероятностей
Рх, о(/, S, и) - = <6 (I (х, р) - I) 6 (S (х, р) - 5) б (V_L S (х, р) -
и)У,
параметрически зависящей от пространственной точки (х, р), то получить
его в замкнутом виде не удается. Однако уравнение для плотности
вероятностей можно замкнуть, если ее переменные дополнить величинами,
характеризующими кривизну фазового фронта [67, 68]. Это связано с тем,
что именно флуктуации кривизны фазового фронта порождают флуктуации
интенсивности волны в геометрооптическом приближении.
319
Уравнение для фазы волны (8.1.36) соответствует уравнению Гамильтона
- Якоби, рассмотренному в пятой главе, в котором
Н= (" • ^ • ' = 1-2). (2.8)
Для получения замкнутого уравнения для плотности вероятностей фазовых
переменных достаточно ввести три дополнительные пере-d2S
менные р,-;, = *-*-, и стохастическое уравнение Лиувилля при-0pi9pt
' 1 • 1
лимает шгд
г? TV 1 f>\Y I'i a\Y 1 d rTI- id
- 1- - ^-+2Г-ЗГ-- Р" 7Tm -1ГЖ. Pi!Pk;]l -
• I 1 lh
1 ТТЛ k
/ \ ^ i ^ • d~cs d ] у
j-r p,"
s (x, p) - 4- --------------- -|- -r- -----------------W. (2.9)
d't'i dl'i <>?idpu ОРц; 1
Далее, учитывая гауссовский характер флуктуаций в и дельта-
коррелированность поля 8 (х, р) по х, можно выполнить усреднение по
ансамблю реализаций е, что приводит к появлению в правой части (2.9)
диффузионных членов:
Рх, р , Pij P;i) /) =
= (/ (х, р) - /) а (5 (х, р) - 5) в (-g- - б
.
6Р 1 дР р\ дР 1 (9 Г7Э 1г? ..г> ^ п
дх "1 а- л <?Pi "г 2k лу ~ТРп7Т к 0/>д.РнР'' Г?"1 ~
"fA<oi?-i,D<a
-4-ДЦ>№,(2^ + ^И/.. (2,10,
где D (р) = Л (0) - Л (р).
Для плоской падающей волны, в силу пространственной однородности, V0P
= 0. Интегрируя уравнение (2.10) по S л /, получаем более простое
уравнение, описывающее флуктуации фазовых градиентов:
Рх, р(a- pm) = (V±s (х, р) - р) б(^5^7~ '
дх _ к дра Р"РЫР ~ Ри ~~
=¦т- {4-д^ "я ¦-S -4- (°) f-S +2 4U(2-ц)
dpi ° у dpi дрк1
Аналогичным образом, интегрируя (2.10) по S и по р, получаем 320
уравнение. описывающее флуктуации интенсивности, волны:
I'x, !> {J ' /'i:.-) ~ U (Х> Р) I ) ^ fipTJo^ Р*) ^ '
1 д
о.С
Ра - ГР - - -; PifPu р-------------------у Piiр '¦
-?Ла- />(И)/2 ^ г-г|/'- (2.11')
1>- "' \ ,;/'w j
Интегрируя (2.1 Г) гго 1. получаем уравнение для плотности
вероятностен вторых производи!.tx ф;и',ы. описывающих кривизну фазоного
фронта, вида
~ - ?л*Л)(0) (JL у 2 *| Р.
