Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 127

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 135 >> Следующая

" rtl'u- " l/^ii f)Pkll

(2.11")
Сравнивая (2.11") с (2.11), видим что первые и вторые производные фазы
волны являются статистически независимыми и плотность вероятностен для
градиентов фазы удовлетворяет при этом уравнению
А ; "((")-С-¦ (2.12)
''Н
Из (2.12) следует, что распределение (одноточечное) величины Г S является
гауссовским с дисперсией
<(V:^)2) =
что совпадает с известным: результатом для малых флуктуаций амплитуды
волны и. следовательно, обобщает его на случай произвольных флуктуаций
амплитуды. Р" то же время, как видно из (2.11/), существует сильная
статистическая связь между флуктуациями интенсивности и кривизной
фазового фронта. Уравнения
(2.10) - (2.1!") существенно упрощаются в двумерном: случае.
Так, уравнение (2.1 Г) в этом сл учае принимает вид
JilL .. _L q л п- jl 1{°-/> JL qj> ж JL/,-2/\2j 1> (0) .
чх /г 1 а [ !,¦ d <f 1 !,- 1 -1- rig-
Отметим, что рассмотренная выше задача о статистическом описании
амплитудно-фазовых флуктуаций световой волны в геометрооптическом
приближении аналогична задаче о статистическом описании системы
невзаимодействующих частиц в гидродинамическом приближении. С помощью
аналогичных уравнений можно исследовать различные статистические свойства
пучка частиц (см. [159]).
Полученные выше уравнения, одиако, достаточно сложны и в настоящее
время еще лгало изучены. Поэтому разумно привлекать
321
некоторые дополнительные физически обоснованные предйоло-жения.
Формулы (2.4) можно использовать для проверка тех или иных
предположений относительно характера амплитудно-фазовых флуктуаций и, в
частности, предположения о возможности замены на Xj_S0 из первого
приближения МПВ для расчета амплитудных флуктуаций. Как указывалось выше,
в приближении диффузионного случайного процесса могут быть вычислены в
явном виде величины
<и (X, Pi) и* (х, р2) 8 (у, р3)>,
(и (х, рх) и* (х, р,) е (г/j, р3) е (г/2, р4)>,
с помощью которых но представляет труда найти выражения для (IX±SX^S0'},
(I (Xj_S0)'2y. Это позволяет проворить возможность замены Xj_S на Vj_5u в
(2.4) при расчете амплитудных флуктуаций в области сильных флуктуации.
Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательный результат [1.571
(для флуктуаций е, вызванных турбулентностью):
</Vj_S?±S0> = k9-yh (al),
(I (X±S0)>> = k*y [1 - U (o*)], где функции fx и /2
имеют асимптотический вид
fl (Оо) ~ 1> /2(Ло)~Оо (°о<<1),
что соответствует первому приближению МГ1В, и /i(o02)~cTo1/;\
Ы^)~оо2/з (о02 >1),
ОО
где параметр al определяется по формуле al = +^- х [йххФе(и).
о
Эти асимптотические оценки свидетельствуют о том, что в области сильных
флуктуаций интенсивности нельзя проводить замену V±S на X 0 при расчете
амплитудных флуктуаций.
Формулы (2.4) можно также использовать и для вывода условий
применимости приближения диффузионного случайного процесса при описании
амплитудно-фазовых флуктуаций в геометрооптическом приближении, которые,
как легко видеть, совпадают с условиями применимости приближения
диффузионного случайного процесса для статистического описания диффузии
лучей в случайно-неоднородной среде (формула (1.17)).
Отметим, что в приближении диффузионного случайного процесса можно
получить замкнутое уравнение для характеристического функционала S (х, р)
в плоскости х = const. Это уравнение аналогично уравнению для
характеристического функционала поля и (х, р). Однако, в силу
нелинейности уравнения для фазы волны, уравнения для моментов фазы волны
будут незамкнутыми.
322
§ 3. Геометрическое приближение в статистической теории
волн *)
Выше мы рассмотрели приближение геометрической оптики для воли в
случайно-неоднородной среде без регулярной рефракции па основе
малоуглового приближения для уравнения Гельмгольца. На самом деле
геометрическое приближение является универсальным аппаратом, пригодным
для любых видов волн, распространяющихся в произвольной среде, и
позволяющим ориентироваться в основных эффектах, сопровождающих процесс
распространения волн. Ниже мы рассмотрим геометрическое приближение в
теории волн с общих позиций и проиллюстрируем основные идеи на конкретных
примерах, рассмотренных в предыдущих главах.
Рассмотрим уравнение, описывающее распространение скалярной волны в
среде, свойства которой мало меняются на протяжении периода и длины
волны. Хорошо известно, что его решение можно представить в виде
локальной плоской волны
и (х, t) = А (ж, t) ехр {iS (-х, t)}, (3.1)
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed