Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
вариационными производными (например, уравнение Швипгера для
стохастических интегральных уравнений). И в этом смысле проблема анализа
линейных стохастических задач полностью аналогична анализу нелинейных
детерминированных задач физики, т. е. можно утверждать, что линейные
стохастические задачи по своей сущности являются нелинейными задачами.
При конкретизации статистической природы флуктуирующих параметров
ситуация в ряде случаев упрощается. Так, если флуктуирующие параметры
являются марковскими процессами общего типа, то расширенное пространство
может быть сведено к конечномерному, а для частных случаев марковских
процессов, таких, как телеграфный, обобщенный телеграфный и марковские
процессы с конечным числом состояний, вообще можно обойтись без какого-
либо расширения пространства.
Результаты для случая, когда флуктуирующими параметрами являются
гауссовские марковские процессы или функции от них, можно получить,
исходя из предельной теоремы о переходе суммы независимых телеграфных
процессов с увеличением числа членов в гауссовский марковский процесс,
Вернемся теперь к стохастическому линейному уравнению общего типа.
Имеется одни асимптотический случай, называемый приближением дельта-
коррелировапиого процесса (поля), когда ситуация совсем упрощается. В
этом асимптотическом пределе статистические характеристики решений
стохастических уравнений сами удовлетворяют линейным уравнениям и теорию
можно рассматривать как теорию обобщенного броуновского движения. С
физической точки зрения эта асимптотическая теория пригодна для тех
ситуаций, когда рассматриваемая система уже испытала достаточное число
"независимых" случайных воздействий и можно удовлетвориться усредненным
описанием ее поведения за времена, большие по сравнению со временем
"единичного толчка". Это обстоятельство и обусловливает преимущества
рассмотренного функционального подхода, так как методы, основанные на
применении теории возмущений, обычно приводят к бесконечным системам
уравнений для статистических характеристик решения задачи и их
приближенные решения часто оказываются справедливыми лишь при весьма
жестких ограничениях. Преимуществом данного под-
330
хода является также возможность одновременно исследовать и его границы
применимости.
Все, что говорилось выше, относится к задачам, для которых выполняется
условие динамической причинности. Ситуация, однако, даже для случая
дельта-коррелированных процессов, коренным образом меняется, если мы
имеем линейную краевую исходную задачу. Для нее не выполняется условие
динамической причинности, и, как мы видели на примере вывода уравнения
переноса излучения водномерной случайно-слоистой среде, уравнения для
средних характеристик имеют вид нелинейных незамкнутых уравнений и
замыкание их удается осуществить только путем расширения (конечномерного,
однако) фазового пространства.
Что же касается волновых статистических задач, рассмотренных выше, то
они демонстрируют весьма широкую возможность применения функциональных
методов к нахождению статистических характеристик решения задач. При
этом, как часто оказывается, рассмотренные методы дают более мощный
аппарат для решения конкретных задач, чем другие статистические методы
(примером этого может служить задача о распространении волн в среде со
случайными неоднородностями, где другими методами трудно получить
обоснованную картину поведения сильных флуктуаций волнового поля).
При этом такие задачи, как задачи о стохастическом параметрическом
резонансе и волнах в одномерных случайных средах, являются простейшими,
по постановке, модельными физическими задачами, допускающими полное
всестороннее исследование. Более реальная задача, такая, как волна в
трехмерной среде, уже не допускает такого полного исследования, и в этом
случае рабочим аппаратом является приближение дельта-коррелированпых
флуктуаций параметров среды.
При рассмотрении трехмерной задачи мы ограничились приближением
параболического уравнения. Отметим, что теория инвариантного погружения
позволяет, в принципе, снять это ограничение [162].
Следует подчеркнуть еще раз в заключение, что в стохастических задачах
переменными являются функции, и поэтому только функциональный подход
должен быть и является адекватным исходной постановке задачи.
1ИТЕРАТУРА
1. Эйнштейн А.. СмолутоскпЬ М. Броуновское движение. сб. ста го ii. -
М.: ОНТИ, 1936.
2. Langevin Р.- С. R. Acad. Sci.- 1908, Paris, v. 146, p. 530.
3. Uhlenbeck G. E., Ornslcin L. S.- Phys. Rev., 1930, v. 36, p. 823.
4. Wang М. C., Uhlenbeck G. E.- Rev. Mod. Phys., 1945, v. 17, p. 323.
5. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии.- М.:
ИЛ, 1947.
6. Феллер В. Введение в теорию вероятностен и се приложения. - М.:
Мир, 1964, 1967, т. 1, 2.
7. Лоэв М. Теория вероятностей.- М: ИЛ, 1962.
8. Ито К. Вероятностные процессы:- М.: ИЛ, 1960, 1963, цып. 1, 2.
