Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
(/л п с/., до квадратичных членов.
В ряде задач "медленные" процессы диффузии протекают па фоне "быстрых"
осциллирующих изменений переменных. В этом случае, как мы впделтт в
предыдущих главах, полезен прием, связанный с усредненном плотности,
вероятностей по быстрым осцилляциям. Рассмотрим для простоты плоский
волновод, показатель преломления которого равен |сс2 - е (?)] 2'2- где g
и z - продоль-иая и нолеречная координаты. а г (|) - гауссовская б-
коррелированная случайная функция, для которой (!) <? (|')> -¦- 2')-/|)6
(5-?'). Такая постановка задачи описывает флуктуации парад1ет|)ов
но.чпонода.
Уравнении для лучен таковы:
elz _ _ _dt_ _
~dl~ ^ V' ~dT "
- crz
Введем новые переменные и п ср, соответствующие амплитуде и фазе
осцилляций луча:
z - cos ф-ехр и, v = - a sin ф ехр и,
du е. (Е.) . аср в (?) " ,о
==------- sin ф cos ф, = а - cosj ф. (.1. 2Ъ)
Для функции Р - б (и (?) - и), описывающей плотность вероятностей для
величины и (g), после усреднения по г (|) и быстро осциллирующей фазе ф
получим уравнение
О Р
Г)
-1U2 ди
дР
C)U
2р] , (Н.29)
соответствующее гауссовскому- распределению для величины и.
Можно ввести плотность вероятностей Р для двух лучей. После усреднения
по фазам обоих лучей уравиеппе для Р будет иметь такой же вид, как в
случае двух лучей, распространяющихся независимо друг от друга.
Аналогичным образом можно рассмотреть и трехмерный волновод с
показателем преломления (а\ - z2 j (я$ - а>) z2, где осп координат г, и
г., иап])авлеиы вдоль главных осей. Р> сл у чао цилиндрнчоскп-
сииметрнчпого волновода (aJL а.,) задача сводится к предыдущей, поскольку
движение луча происходит в одной плоскости. При ос, ф. а2 такое движение
имеет место лишь в плоскостях, соответствующих главным осям. В общем же
случае траектория луча уже пе будет плоской. Однако в переменных и17 и2
уравнение для вели чипы Р по-прежнему имеет такой ще вид, как для двух
независимо распространяющихся лучей, по с различными коэффициентами
диффузии.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В предложенной книге были развиты функциональные методы изучения
статистпческих характеристик решений стохастических уравнений и были
рассмотрены применения этих методов к конкретным статистическим волновым
задачам.
Проводя формальную классификацию. развитыми выше методами можно
рассматривать нелинейные динамические системы под действием случайных
возмущений, описываемые как системами обыкновенных дифференциальных
уравнений, так и уравнениями в частных производных и интегральными
уравнениями, причем случайные параметры могут входить как в коэффициенты
уравнения, так н в правую часть. Важно лшиь. чтобы выполнялось условие
дни а м 11 че с кой причинности.
Функциональные методы изучения статистических характеристик решения
задач были развиты для анализа линейных (вообще говоря, операторных)
стохастических уравнений. При этом важным моментом является вопрос о
возможности сведения исходной нелинейной задачи к линейным задачам
рассмотренного типа.
Если стохастическая задача описывается системой нелинейных
обыкновенных диффереиппальных уравнений, то всегда путем расширения
пространства (конечномерного, однако) можно перейти к эквивалентному ей
описанию с помощью линейного уравнения в частных производных (уравнению
Лиувилля). При этом уравнение Лиувилля содержит больше информации, чем
исходное. и описывает плотность вероятностен для исходной динамической
системы в фазовом пространстве. В случае же произвольного нелинейного
уравнения в частных производных также можно иереити к линейному
уравнению, но уже в бес конечномерном пространстве, содержащему
вариационные производные (уравнению Хопфа). Конечно, при конкретизации
типа уравнений можно в ряде случаев упростить такой переход. Так, если
исходное уравнение содержит пространственные производные только первого
порядка, то можно ограничиться переходом к конечномерному пространству, а
если к тому же оно является квазилинейным, то размерность расширенного
пространства еще более сокращается.
329
Краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью
теории инвариантного догружения сводится к квазилинейному уравнению.
Итак, мы перешли к линейному (дифференциальному или интегральному)
стохастическому уравнению. При усреднении этого уравнения по
флуктуирующим параметрам мы, вообще говоря, не получаем замкнутого
уравнения для интересующей нас величины. И такое замыкание можно
произвести путем дополнительного перехода к новому расширенному
пространству, вообще говоря, бесконечномерному. В результате получаем
линейное уравнение для среднего значения интересующей нас величины, но с
