Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
координаты z (соответствующая дифракционная задача рассматривалась в гл.
8, 9). В отсутствие случайной составляющей показателя преломления
дисперсионное соотношение (3.14) таково:
- 2 (кг - hi) I к\= ьл -f a2z2 (v ~ kjkf), (3.15)
а характеристические уравнения (3.6) выглядят следующим образом:
? = f=-a2z. (3.16)
Пусть при > = 0 z = z0, v 0, I ~ In (z); тогда z -= z0 cos a|, и - - azn
sin a|, I -- | cos a\ | ~lI n (z/cos a|).
Если учесть теперь случайную составляющую показателя преломления е
(Е, z), то уравнения (3.16) будут иметь вид
dz dv " 1 де (?, z) /0 л а'\
ж = Ж=~аг + -Г~Г- { }
Считая, далее, е (?, z) гауссовским однородным случайным полем,
5-коррелированным по т. е. имеющим корреляционную
функцию
<е(Е, z)e(|',z')> "= A (z-z') б(Е-Е'), и проводя усреднение в уравнении
(3.10), получаем уравнение
Эйнштейна - Фоккера (Р = <Ф"
дР . дР п дР 1 тт/г\\ о2Р /о л
п\
-^-\-v---------ct2z -j- = -у- Я (0) --
(3.1/)
оЕ, 1 dz dv 4 с?г.,г
4 '
с начальным условием /* .Р0 (z, у) при ? = 0; здесь Н (р)
=
= |л±/1 (Р).
С помощью преобразования Фурье введем новую функцию Г (2, р, Е):
P(z, у, ?) = ^ dpY(z, р, ?)ехр{ - ikvр},
(3.18)
где к = /с| - начальное волновое число. Тогда для функции
Г (z, р ?) получаем уравнение
^ я (°) р8г = ° (3-
17')
Уравнение (3.17') совпадает с уравнением для функции когерентности
уравнения Гельмгольца в параболическом приближении, где вместо
структурной функции D (р) = А (0) - А (р) входит величина Н (0) р2,
связанная с первым членом ее разложения по р. Такая связь между
величинами Р и Г была отмечена в работе [161]. Таким образом, как уже
говорилось выше, величина Р является лучевой интенсивностью, а уравнение
(3.17) для данной задачи представляет собой уравнение переноса излучения
в приближении геометрической оптики (акустики).
Уравнение (3.17) можно решить:
Р (z, и, %) = § dp dq Р0 (р, q) ехр {ip (z cos a? - ua~l sin ag) +
+ iq (za sin ag 4- v cos a?) - (Vs) H (0) [p2cT2 (H, - (2a)-1 sin 2a?) +
+ pqa* (cos 2al - 1) + q2 (g + (2a)~'l sin 2afc)]},
(3.19)
где
Po (P, q) = (2я)"2 ^ dz dv P0 (%, v) exp {- ipz - iqv}.
С помощью формул (3.11) и (3.12) легко найти среднюю интенсивность <Т> и
плотность потока энергии <(П>, например:
<1(1 Ф =
2л
- ! cos al\ldp р0 (я ir a&) еХР - tJ?]} •
Если величина Р0 не зависит от д, т. е. Р0 (z, v) = Р0 (z) б (v),
то
<П(?, z)> = - a tgag [2</>+-(r)Ж?-±-</>] . (3.20)
Поскольку справедливо вытекающее из (3.13) равенство -щ (/) -f-<П) = 0,
для средней интенсивности (/*) получается
а
dz
Уравнение
?</>-"•**? [*</> + <3.21)
с начальным условием I (0, z) ----- Р0 (z). Пусть (z) -
- /0 ехр {- z2/a2}, тогда
где
f-ffi = c"s.o|+|?>(5-^).
При Н (0) = 0 получаем выражение для /, найденное выше с помощью
уравнений (3.16).
Для величины
Q (fci, Л?21 JCi) JCa, t)-
= I(xlt (аса, i) 6 (A--i (aei, f) - Ah) 6 (fca (jc2, *) - *2)
(3.22)
также удается получить замкнутое кинетическое уравнение, совпадающее по
форме с уравнением для плотности вероятностей лаг-ранжевых координат хг
(?), fcj (?):
4 + (3.23)
С помощью выражения (3.22) можно найти величину
/ (sci,* t)I (хз, 0 - ^ (fci, &г, aci, ас2, О-
После усреднения по ансамблю реализаций флуктуирующих параметров отсюда
получается функция корреляции для интенсивности.
В частности, для задачи о диффузии двух лучей в двумерном случае из
(3.23) вытекает уравнение (Р = <(?>)
дР . дР . дР Н( 0)
-ZT + и1 ------------------\~ Т- =-----------------7----
dl, 1 dz1 1 * dz.2 4
а2Р 62Р
1ц-, , о2Р
-y-H(Z 1 - Zj)
dv1de2 (3.24)
Когда расстояние (zx - z2) между лучами превышает радиус корреляции,
имеет место независимая диффузия двух лучей.
Введем функцию Г4 (qt, zt, |):
Р{ии z i, 1)=-= § dq1dqiri(qi, zb I) exp {- ik {v^ -|- v\q2)},
(3.25)
для которой из (3.24) получаем уравнение
dTj_____t_ t?gr4______i дЧ\ _
dt, к dzj^dqi к dz2dq2
= 0) (q\ + g§) Г4 - -f. Я (Zl - za) <М2Г4, (3.26)
327
что совпадает с уравненном для функции когерентности четвертого порядка.
I! котором структурная функция D (р) разложена is ряд но .малым величинам
