Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Для отыскания термоэдс системы нужно найти плотность тока (5.12), возникающего в системе при одновременном действии внешнего электрического поля и градиента температуры, когда парциальные потоки г'м' (см. (4.14)) появляются под действием разностей обобщенных потенциалов (4.22). Парциальные потоки, возникающие под действием градиента температуры, вообще говоря, отличаются от создаваемых только электрическим полем. Это различие обусловлено множителями (Ех — F) Ra — (EV — F) Rv, появляющимися перед темпами переходов Ги' (см. (4.22)). Мы увидим, однако, что в рамках перколяционного подхода учет указанных множителей не требует явного вычисления предэкспоненциального множителя в формуле для проводимости. Для того чтобы учесть их, следует лишь несколько детализировать соображения § 8.
Заметим, что, с принятой нами логарифмической точностью, изменение предэкспоненциальных множителей не сказывается на определении связей (§ 9); соответственно оптимальные пути протекания и трехмерная сетка связей оказываются одними и теми же в обоих случаях — когда потоки вызваны приложенным электрическим полем и когда они вызваны градиентом температуры.
§ 12. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ПРЫЖКОВОЙ ТЕРМОЭДС 251
В системе с экспоненциально большим разбросом темпов переходов естественно предположить, что полные сопротивления различных цепочек связей, соединяющих некоторую пару центров, будут очень сильно различаться, коль скоро расстояние между этими центрами не слишком велико. Соответственно бесконечный кластер или трехмерную сетку связей можно считать состоящими из отдельных неразветвленных цепочек — макросвязей, длина которых намного превосходит длину перескока; мы приходим тогда к модели одножильной сетки сопротивлений (А. С. Скал, Б. И. Шкловский, 1974; П. Г. Де Женн, 1976). В рамках этой модели принимается, что значительная доля связей принадлежит «мертвым концам», навешенным на скелетную сетку макросвязей. Пусть Lcq есть характерное расстояние между узлами скелетной сетки; именно это расстояние и определяет в данной задаче значение корреляционного радиуса, на котором коррелированы флуктуации чисел заполнения узлов бfo.. Ясно, что переход к макроскопическому описанию системы возможен лишь для масштабов, превосходящих Ьсо, когда можно ввести представление о физически малом объеме, в котором можно пренебречь флуктуациями термодинамических величин (сравните с § 4).
В соответствии со сказанным выше, рассмотрим перенос
вдоль простой неразветвленной цепочки связей (макросвязи) длины / (порядка Lc0) при наличии как разности электрохимических потенциалов, так и разности температур между ее концами. Согласно закону Кирхгофа (4.15) для этого случая парциальные потоки вдоль цепочки — одни и те же между любыми парами соседних узлов, т. е.
ку = = is = const (12.5)
для любых соседних узлов вдоль цепочки.
Пусть U\ есть разность обобщенных потенциалов между
концами рассматриваемой цепочки, которые отстоят друг от друга на расстояние / в направлении приложенных поля и
градиента температуры. Обозначая символом ? суммирование
U'
по последовательности соседних звеньев цепочки, можем записать
ll} = U + [(?ri - F) Rsi - (Es2 - F) Rй] V In Г =
= Г Uhj = Z' Гй‘ (Ги'ВД = is ?' Гй’. (12.6)
U' U' U'
Здесь Esi и ES2, Rsi и RS2 — энергии и координаты центров, находящихся в концах цепочки, а величина ? Гй* пропорцио-
ЛА
252
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
нальна сопротивлению рассматриваемой цепочки. Из формулы
(12.6) находим
is = (j Tu'V‘ (?/// - (?s2 - F) rf 1п №), (12.7)
\ U' /
поскольку без ограничения общности можно положить xs\ ~ О,
Xs2 X I.
Поток электронов через некоторую заданную плоскость, перпендикулярную оси Ох, определяется суммарным вкладом всех цепочек, ее пересекающих. Плотность тока вдоль цепочки, согласно (12.7), зависит от энергий граничных центров; очевидно, корреляцией между энергиями центров, находящихся на противоположных концах цепочек, можно пренебречь, и потоки определяются соответствующими усредненными величинами:
j = — ens(is). (12.8)
Здесь ns « 1~2 — поверхностная плотность цепочек, а усреднение проводится с весовой функцией IP{ES)—плотностью вероятности того, что центр с энергией Es принадлежит одной из цепочек эффективной «скелетной» подсетки, получаемой из сетки связей отбрасыванием «мертвых концов»:
(?,)/,. (12.9)
Таким образом, для проводимости имеем
а = \ dEs& (Es) fj ?' Гй'У *. (12.10)
\ U' )
Выражение (12.10) совпадает с (12.1), если отождествить ёг0> (Es) ^ Гй’^ с функцией a(Es) (—dnF(Es)/dEs). Однако
