Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Как уже отмечалось в § 1, локализация волновой функции означает невозможность движения электронов по кристаллу без изменения его энергии, что делает принципиально важным учет фононов при рассмотрении статической прыжковой проводимости по локализованным состояниям. Ситуация, однако, изменяется в переменном электрическом поле частоты со, когда возникает возможность изменения энергии электронов за счет поглощения или испускания квантов внешнего поля Йсо. В этом случае возникает возможность появления электрического тока в системе и без участия фононов; соответственно говорят о бес-фононном вкладе в проводимость (или о бесфононной проводимости) .
Относительная роль бесфононных переходов возрастает с ростом частоты. Может оказаться, что бесфононные переходы становятся доминирующими на частотах, при которых уже справедливо парное приближение. По этой причине при рассмотрении бесфононных переходов часто бывает достаточно ограничиться парным приближением.
В настоящем параграфе мы рассмотрим бесфононный вклад в проводимость, по-прежнему оставаясь в рамках одноэлектронного приближения и рассматривая материал как «жесткий»
246
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
(т. е. пренебрегая взаимодействием электронов с фононами). Последняя аппроксимация справедлива, если речь идет о проводимости на достаточно высоких частотах (понятие «достаточно высокие частоты» зависит от температуры — это частоты, превышающие частоту, при которой бесфононный вклад сравнивается с фононным вкладом, зависящим от температуры).
Бесфононные перескоки связаны с недиагональными элементами матрицы плотности, и учет их требует’выхода за рамки рассматривавшегося выше диагонального приближения. Линеаризованное уравнение для недиагональных элементов неравновесной части одночастичной матрицы плотности 6(/) в отсутствие электрон-фононного взаимодействия получается из формул (3.4), (3.7) при В\\’= 0. Замечая, что в равновесии fw — п-f (Е\) 6м', можем привести это уравнение к виду
ih + (?, _ Еу) б/и, — (Я'| Т (/) |Я) [пР (?я) - пР (?*')]. (11.1)
Потенциальную энергию электрона в действующем поле возьмем в виде
T(t) = Г0е~ш. (11.2)
Тогда решение уравнения (11.1), удовлетворяющее начальному условию
й/хх' (0 I,_= о, (11.3)
дается выражением
00
Sfu' (0 — —j е~ш ^ dl' ехР [тг ~ Е*¦' + йсо) X
X (Я/ I Го I Я) [пр (?я) - пр (?г)] =
(Я.' | У*0 | Я.) [nF (Ек) — пР (?r)] f Ek-Ex, + tm + ie е
где малое положительное число е указывает правило обхода полюсов. Согласно (6.2) соотношение (11.4) можно представить как соответствующее выражение для запаздывающей двухчастичной функции Грина К..,.' (/); в отличие от § 6, нас сейчас
АА AjAj
интересуют недиагональные ее элементы с к ф к' (но при к = Яь к' — ?ц). Именно, согласно (6.4), (11.4)
$ II. БЕСФОНОННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ 247
Для локальной плотности тока на основании формулы (5.11) мы имеем
Re / W = — -f- ? (Я UIV) (V 1П М Im - -
= HiT ? (* I ¦* I ¦*') I ro I Я) [пр (El) - nF (?v)] X
ХА/
Xi(^-?v + to). (11.6)
Если действующее поле считать однородным, так что Т (х) = = е8х, то из (11.6) получается следующее выражение для бесфононной проводимости:
Re а (а») = ?|(Л|х|Г)|2 [пР (Ex) - nF (J5v)] 6 (Ек - Ev + Йа>).
**' (11.7)
При выводе формулы (11.7) мы приняли во внимание, что в макроскопически изотропной системе результат усреднения неизбежно должен иметь вид
Re otj (со) = ЬцО (<о) (11.8)
и можно провести замену
(K\Xi\К')(К'\х,\Ь)-+ V36f/1 (Я| х |Я') р. (11.9)
Выражение (11.7) можно получить и из формулы (II. 13.5), замечая, что в рассматриваемом случае &—> 0 и Тйе(у', у"\у) =
= 6 (у' — у")Ь (у' — у). При этом равенства (II. 13.5) и (II.13.6)
можно переписать в виде
(\dAdA
' — оо
р'у)аля’х')\ (ИЛ0)
О"**!) /
Re ац (со) = Re ( \ dx \ dy \ dy0 еш у, X X Пт
где уже выполнено суммирование по спинам, так что спиновые переменные не входят в аргументы функций Грина. Фигурирующие в (11.10) причинные функции Грина удобно выразить через запаздывающие и опережающие с помощью известных формул
Gc (х, у; Е) = ~2п \dE J у; ^ ) ( Ё' — Е — /е Е' — Е+ /е ) ’
— ОО
(11.11)
/(х, у; Е') = Gr (х’ у;?/ + 'ie)+~^^j у; 'е). (11.12)
248
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Здесь Gc(x, y;?) — фурье-образ Gc по времени х0 — уо, взятый на частоте E/h, е —>—+-0; в рассматриваемой задаче функция Ог дается выражением (1.6.9), а для Ga справедлива та же формула с заменой Е + ie на Е — ie. Отсюда с учетом соотношения
