Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
С другой стороны, приближения и упрощения, принятые в проведенном выше модельном расчете, не позволяют утверждать, что показатель экспоненты у должен быть точно равен 1/4. Прежде всего, в расчете делалось предположение о медленном изменении плотности состояний в пределах эффективного слоя (9.10). Согласно (10.5)
т. е. величина ?тах может достигать нескольких десятых эВ, поскольку ric = (Г0/Г)1/4 « 30. На таких интервалах энергии в реальных системах плотность состояний может заметно меняться. Если плотность состояний меняется по закону
то перколяционные соображения (критерий связей) дают
Отметим, что на температурной зависимости прыжковой проводимости может отразиться также изменение радиуса локализации с энергией.
Наконец, при рассмотрении прыжковой проводимости в аморфных материалах существенным представляется учет многофононных эффектов (§ 7). Действительно, характерные изменения энергии при перескоках — порядка ширины эффективного слоя (10.8). В типичных условиях для аморфных материалов Е ~ Етах fto)max, и многофононные процессы могут играть определяющую роль. В низкотемпературном случае для вероят^ ности перехода справедлива формула (7.17); соответственно сохраняют силу и все выводы относительно температурной зависимости проводимости. В частности, закон Мотта получается и в этом случае.
В двумерном случае, когда локальные центры со случайными энергиями случайным образом распределены по какой-нибудь поверхности, температурный ход проводимости оказывается иным, чем в рассмотренной выше трехмерной задаче. Его по-прежнему можно найти с помощью критерия связей, замечая, однако, что критическая величина vc зависит от размерности системы. Согласно численным расчетам, для двумерной системы
?тах = ПГо/Г)1/4,
(10.8)
p(?) = psIE-FF,
(10.9)
(10.10)
*) Hill R. М.— Phys. Stat. Sol. (a), 1976, v. 35, p. K29; Забродский А. Г.— ФТП, 1977, т. 11, c. 595.
244
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Vc* 4,5. Поступая так же, как и при выводе формулы (9.11), мы получаем здесь
^>^ч,-еке+2У да11>
где ро2> — плотность состояний в двумерной системе (она имеет размерность эВ-1 см~2). Критерий связей в формуле (9.22) дает при этом
^)=WW- = V- (10Л2)
Отсюда для проводимости получаем формулу (10.1), в которой
т)с = г]?) = (Т$)/тУ13, (10.13)
Г021 = Л(2УУро2>> а "4(2) — 210v(c2,/l In. Численный расчет для двумерной системы с энергетической зависимостью темпов переходов позволяет определить значение постоянной Л(2) и вычислить величину Vc2' с помощью последнего соотношения. Сравнение полученного таким путем значения v® = 5,l±0,3 с известным значением v(c2> = 4,5, по-видимому, дает представление о степени
точности, на которую может претендовать критерий связей в
форме (9.22).
Можно ожидать, что температурная зависимость вида (10.13) будет характеризовать проводимость по поверхностным состояниям. Подобная ситуация может реализоваться также и в трехмерном случае, коль скоро мы имеем дело с сильно дефектными неупорядоченными структурами, содержащими макроскопические дефекты (полости, каналы, трещины). Эти дефекты могут вносить значительный вклад в проводимость, если площадь внутренних поверхностей достаточно велика.
«Квазидвумерная» ситуация реализуется и в тонких пленках, толщина которых меньше характерной длины перескоков rh ~ 7-1т}с. Переход к температурному ходу проводимости, описываемому формулами (10.1), (10.13), при уменьшении толщины пленки действительно наблюдался в аморфных германии и кремнии (Дж. Дж. Хаузер, 1972; М. Л. Кнотек, М. Поллак, Т. М. Доннован, X. Куртцман, 1973). Подобное изменение температурной зависимости проводимости служит серьезным указанием на прыжковый характер переноса.
Инверсионный слой на границе раздела металл — полупроводник представляет собой еще один пример двумерной системы, в которой при определенных условиях (при низких температурах и достаточном изгибе зон) проводимость осуществляется путем перескоков по локализованным состояниям, лежащим
§ 11. БЕСФОНОННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
245
вблизи уровня Ферми; такого рода проводимость наблюдалась, например, в системе Si—Si02 (Н. Ф. Мотт и др., 1975). Переход к прыжковой проводимости наблюдался также в тонких слоях n-GaAs, где с помощью внешнего напряжения оказалось возможным изменять толщину обедненного слоя и, соответственно, толщину проводящей области w (М. Пеппер, 1977). При этом возникает возможность наблюдения изменения температурного хода проводимости при непрерывном изменении величины w на одном и том же образце.
§ 11. Бесфононная проводимость
Полученное выше кинетическое уравнение применимо и для рассмотрения проводимости на переменном токе. Однако при достаточно большой частоте внешнего поля со перколяционные соображения непосредственно неприменимы. Действительно, за полупериод поля электрон успевает сместиться лишь на некоторое конечное расстояние. Это означает, что здесь следует пользоваться перколяционными соображениями для конечных объемов, зависящих от частоты. При вычислении проводимости в переменном электрическом поле часто пользуются парным приближением (см. § 8). В этом приближении предполагается, что электрон за полупериод поля успевает в среднем прыгнуть не более одного раза; в противном случае следует принимать во внимание многократные перескоки с участием фононов.
