Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
производных от этих элементов.
Очевидно, нам нужно вычислить лишь 15 скобок Лагранжа, ибо вследствие
того, что
[а, а] = 0, [а, Ь] = -[Ь, а],
из 36 скобок шесть равны нулю, а 15 скобок отличаются от других 15 только
знаком.
Сделаем теперь одно существенное упрощение. При вычислении скобок
Лагранжа мы отбросим все члены, пропорциональные е. Тем самым в
окончательных уравнениях в коэффициентах при производных R по элементам
мы будем пренебрегать членами порядка е2. Полученные таким образом
уравнения будут упрощенными,
138 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
но они, как мы увидим в дальнейшем, позволят находить все важнейшие
неравенства в движении спутника.
С принятой степенью точности согласно §§ 3.2, 3.3, 3.5 и 3.17 имеем
U о/ с .
¦ т-п--------------, t = т" - sin v,
1 + е cos v ' = ' р '
Т] = S sin U,
¦П
mis cos и
1 -s2 sin2 и '
w = Q + Arctg (Y1 - s2 tg и), u>' =Y fmp.
Поэтому все неравные нулю скобки Лагранжа будут даваться формулами]
VI
[р, е] - ^ 1 .1 е cos v j sin v,
[p, y[ = g I2 (e + 2 cos v + e cos2 v),
[e, y]=
V fmp
2 p eY fmp
, [p ,Q] = -
2 I2, =
Y fmp
cos i
2 p '
s Y fmp
(4.11.8)
pa ' 1 ' ' COS I
Подставляя равенства (4.11.8) в (4.11.7) и разрешая полученные уравнения
относительно производных от элементов, получим
de pYfmP / OR' i ^R'
di
ds
e { dv 1 du p YfmP cos i j \ 2
di
dQ
COS I
p Y fmP cos i / I \ 2 dR'
}•
. dR'
P
dR'
dQ
du
dx
dv
dx
¦ mi-
s \ p / ds
p Yfmp cos2 i ( ? \ 2 dR'
(I)'
dr
ds
m2-
p Y fmp ( dR
( dR' \ de
+ (-|)2(2+ecosi;) sinyi?r}'
dR'
(4.11.9)
§ 4.11] ЕЩЕ ОДНА ФОРМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 139
где
R' =
R
fm *
(4.11.10)
Введем теперь две функции F' и Ф' по формулам
ф'= (1)2(2 + есо s у) sin 17 Д' (4.11.11)
и заменим элемент р элементом а. Тогда уравнениям
(4.11.9) можно придать следующий вид:
ж).
ТГ-2
{¦
de рУ fmp ( dR'
dx е \ ди
ди
dR'
ди
ds _ р V fmp cos г / cqs . dF'
dx
dQ
d%
du
d%
dv
d%
du
pYfmp cos i 8F'
№'},
dQ
= ms-
O I/O
pYfmp cos2 i dF' = m' ;---------dT
= m,
p YfmP ( dR' j дф'
de
du
)¦
(4.11.12)
Перейдем наконец от независимой переменной т к новой переменной v
согласно последнему уравнению (4.11.12). Тогда
de
dv
¦Я
dv
dR'
dv
du
dR'
du
. dF'
<*-
ds p cos i ( . dF' dF' "1
~dv ~ i {C°S 1 ~du /
dQ ( . p cos i dF' ">
-!?={*+- -dT)G '
du
dv
где
(4.11.13)
(4.11.14)
140
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
При этом переменная v связана с временем t уравнением л (4.11.15)
dv т2
в котором т2 определяется равенством (3.17.16), а ц и v формулами (3.9.3)
и (3.7.15).
Выведем теперь уравнение для среднего движения п0. Это уравнение легко
получается, если воспользоваться результатами § 4.1 и формулой (3.18.17).
Действительно,
Поэтому
drig " п ffflTlq
fm dt '
и, следовательно,
diiQ n frnno dR dt fm dt
Переходя в этом уравнении от независимой переменной к т, получим
ТГ"-3
где R' определяется формулой (4.11.10). Но
dR' dR' , dR' , dR'
~дтГ = 1711 mi ~dv~ + 1713 ~ШГ'
Поэтому, если перейти от т к переменной v, окончательно найдем
&по О з/~7------ {/л \ V ал' , dR' dR' 'i
- =_3//Wm0((l + v) -+_ + |i_g_jG *.
(4.11.16)
В этом уравнении в коэффициентах при производных R' по элементам
сохранены (посредством v и (х) все члены, пропорциональные е2.
Заметим, что в полученных уравнениях при вычисле-dR' ^
нии не нужно учитывать зависимость р и v от е, ибо
именно при этих условиях были выведены уравнения
(4.11.9), а следовательно, и (4.11.12) и (4.11.13).
§ 4.12]
СЛУЧАИ КЕПЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
141
§ 4.12. Случай кеплеровых элементов
1. Уравнения Лагранжа. Как уже отмечалось в § 3.15, при с = 0 и а - 0
элементы а, е, i, Q0, со0 и М0 превращаются соответственно в большую
полуось, эксцентриситет, наклон, долготу узла, аргумент перицентра и
среднюю аномалию в эпоху кеплерова эллиптического движения. Поэтому, если
положить в уравнениях (4.9.1) в = 0, то мы получим уравнения Лагранжа для
кеплеровых оскулирующих элементов.
Поскольку при е = 0]
I = n{t - t0) + М0, g = со", h = Q0,
то уравнения Лагранжа можно записать в следующем виде:
Ida _ 2 dR |[<Й па дМ0 '
[de __1 - е2 [dR ~\f 1 - е2 дц
dt епа2 дМ0 епа2 da>o '
dt ___ ctg i dR cosec i dR
dt na21Г1 - e2 дщ I 1 - e2 ^--o '
i 74 12
dQ0 cosec i OR
i dt ~ шг уГ^72 di '
[d(o0_ У1 - e2 OR ctg i OR
dt ena2 de naz j/- {_e2 di '
rdM0 _______2_dR_ \ - e2 dR
dt na da ena2 de
Здесь положено
s = sin i, fm = n2a3.
2. Уравнения Ньютона. Рассмотрим теперь уравнения, полученные в §
4.10. Поскольку при в = О
а -а, р= р, s = sini,
? = r = j/^es in*, j/ V2-?=lS-,
где г)з - истинная аномалия и г - радиус-вектор спутника,
то уравнения (4.10.17) и (4.10.15) при е = 0
легко
142
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
приводятся к следующему виду: •^-=2a2(esini|),S'*-f,
-• = р sin if S* + р (cos if 4-cos E) 7'*,
-¦ = r cos 0-5*,
= r sin 0 cosec i B*,
da>Q
dt
[ - p cos if S* 4- {p + r) sin if T*\ -
- cos i -
dt
dMe.= V^ e- [(pcos if-2er)S*-
(4.12.2)
