Динамика удара - Зукас Дж. А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим элемент проволоки на х-у плоскости, образующий Упругопластические волны напряжений
99
Рис. 2.35. Элемент проволоки.
с осью X угол v|/ (рис. 2.35), и пусть и и v - перемещения частицы в направлениях X и у соответственно. Уравнения движения проволоки под действием осевого напряжения ст имеют вид
d2v
Р-^Г = —(ст sin v|/),
д_ дх
(2.91)
д2и _
Р-^2" = —(а cos vI7)'
a
Ih
(2.92)
где р - массовая плотность в начальном недеформированном состоянии. Пусть ^-относительное удлинение, или отношение текущей длины к начальной. Из геометрических соображений, как легко показать, имеем
ди/дх = X cos \|/ - 1, (2.93)
dv/dx = X sin і|/. (2.94)
При решении задачи удобно ввести скорости частиц V1 и V2 вдоль и поперек проволоки соответственно. Тогда уравнения движения можно записать в виде
(2.95)
dt dt р дх
^ + , * ?.**L.a (2.96)
dt dt P dx
(2.97)
dx dx dt
* (2.98)
dx dx dt
Эти четыре уравнения содержат пять искомых функций V1, v2, v|/, ст, X и их производные по дс и по t. Можно исключить одну переменную, если ввести уравнение состояния
G = G(X) (2.99) 100
Г .шва 2
с ограничениями
da/dk ^ 0, d2a/dX2 ^O при X^ 1.
(2.100)
Эти ограничения эквивалентны предположению об НС-материале с вогнутой кривой зависимости напряжения от деформации, что предотвращает формирование ударных волн. Решается задача о поперечном ударе в точке х = 0, наносимом по бесконечной проволоке, в результате чего эта точка приобретает постоянную поперечную скорость V0 в направлении у. Впервые эта задача была решена Рахматулиным [96], задавшим для получения решения форму деформированной проволоки. Его подход аналогичен подходу Кармана [60] в задаче об осевом ударе с постоянной скоростью по длинному брусу из НС-материала (разд. 2.1.1). Прямое решение можно также получить методом характеристик. Вдоль кривой dx/dt = х получаем решения типа простых волн. Характеристические направления задаются формулами
X= +C= ±
1 da р dX
1/2
X= +C= ±(А~) 1
Vp ч
(2.101а)
(2.1016)
Вследствие симметрии достаточно рассмотреть только решения для
dx/dt = +с, + с.
Вдоль
Вдоль
dx/dt = с ^1 = -J cdX, V2 = const, v|/ = const. dx/dt = c X = const,
V1 = OL sin v|/ 4- ?cosv|/ — Xc, v2 = a cos v|/ - ? sin v|/,
где a и ? - произвольные константы. Отметим, что продольные волны распространяются со своими характеристическими скоростями с, но есть только одна скорость поперечных волн с. Решение для различных областей, показанное на рис. 2.36, приведено ниже:
(2.102)
(2.103)
Область 1 V1 = v2 = v|/ = 0, Область 2 V1 = — J^o cdX,
X-X0.
V2 = v|/ = 0, X = X2.
(2.104а) (2.1046)
Область 3 V1 = -Jx2ncdX, tgv|/ =
- V0
:, V0 = - 2Х2CV1 — V2.
V1 + X2C
(2.104b)
Заметим, что если известны X0, V0 и a = a(X.), также с и с из (2.101), то можно построить решение. С другой стороны, экспериментальные Упругопластические волны напряжений
101
Рис. 2.36. Схема решения в различных областях задачи о поперечном ударе по
проволоке.
данные можно использовать для построения кривой ст = а (А.) по результатам измерений v|/ и с при различных предварительных напряжениях. Одно из первых экспериментальных исследований по этому методу с целью изучения распространения пластических волн в металлах было проведено с проволочными образцами из алюминия и меди при нескольких уровнях предварительной статической деформации [103]. Хотя и было получено некоторое соответствие расчетам по НС-теории для одного алюминиевого образца, поведение двух других алюминиевых образцов и медного образца отличалось от предсказываемого НС-тео-рией при высоких уровнях деформации, что позволило сделать заключение о необходимости исследовать уравнение состояния, учитывающее зависимость от скорости деформации. Как и в большинстве экспериментов с предварительно напряженными брусьями и стержнями, опять было отмечено, что малые приращения деформации распространяются из состояния предварительной статической деформации со скоростью упругих волн. Оказалось, что исследование распространения поперечных волн в струнах не имеет никаких преимуществ по сравнению с исследованием распространения в них продольных волн, поскольку не удается достичь более высоких скоростей деформации.
2.3.2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В БАЛКАХ
Под действием высокоскоростных ударов по сооружениям в них также могут распространяться неупругие волны. Хотя это и важная теоретическая задача, она не представляется удобным средством для вывода уравнений состояния материала, поэтому данный случай подробно изучаться здесь не будет. Тем не менее процесс распространения волн в этом случае обладает некоторыми свойствами, сходными с особенностями распространения волн в стержнях и струнах.
В одном из самых ранних исследований поперечного удара по балкам [45] свободному концу длинной балки ударом сообщалась постоянная поперечная скорость. Связь между моментом и кривизной выбиралась на основе статической кривой деформирования материала. 102
