Динамика удара - Зукас Дж. А.
Скачать (прямая ссылка):
Gx-Gy=Y(Epx), (2.77)
что эквивалентно условию текучести Мизеса-Генки, или критерию максимального напряжения сдвига в теории пластичности. Функция У(є?) представляет собой соотношение между напряжением и пластической деформацией, полученное в испытаниях на одноосное растяжение или сжатие в предположении изотропного упрочнения материала. Так как требуется прямое соотношение между напряжением и одноосной деформацией, возникающей при распространении волн, соответствующие этим условиям одноосные напряжения необходимо определять теоретически при адиабатических условиях.
Рассмотрим сначала простой случай идеального упругопластическо-го поведения материала, когда Y = const =Y0. До достижения предела текучести поведение материала упругое и описывается соотношением (2.76). Графически это соотношение представлено первым участком кривой 1 на рис. 2.29. Выше предела текучести выполняется критерий текучести (2.77). Объединяя (2.77) с приведенными выше соотношениями в условиях одноосной деформации, легко получить соотношение
= Kex + 2У0/3, (2.78)
которое справедливо только выше предела текучести. Графически это выражение также показано на рис. 2.29. Координаты предела текучести определяются путем совместного решения уравнений (2.76) и (2.78):
CTx = (K/2G + 2/3) Y0, Ex= Y0/20. (2.79)
Это напряжение называется пределом упругости Гюгонио. Заметим, что приведенные выше соотношения получены в предположении упругого поведения для гидростатических компонент и идеального упруго пластического поведения для девиаторных компонент. Гидростатическая зависимость представлена кривой 2 на рис. 2.29 в предположении постоянства модуля объемного сжатия К. Видно, что кривые 1 и 2 параллельны и отстоят друг от друга на величину 2У0/3. На рис. 2.29 показана также кривая деформирования при одноосном напряжении в этих условиях (3). Упругопластические волны напряжений
89
<3*
Yo Yo
E 26
Рис. 2.29. Соотношение между напряжением и деформацией для идеального упругопластического материала.
/-одноосное деформирование, 2-гидростатическая кривая, 3-упругое одноосное напряженное состояние, 4 - пластическое одноосное напряженное состояние
Уравнения движения, неразрывности и соотношение между напряжением и деформацией могут быть преобразованы в уравнение
д2и 1 дсух д2и
dt P0 дєх дх2
которое формально эквивалентно волновому уравнению Кармана [60] в НС-теории распространения пластических волн в длинных тонких стержнях (2.17) и (2.18). Как и в том случае, скорость распространения приращения деформации есть
Таким образом, в предположении о чисто упругом поведении для гидростатической и девиаторной компонент напряжения в материале существует единственная упругая волна, скорость распространения которой при одноосной деформации определяется формулой
(2.81)
(2.82)
В предположении об упругом поведении для гидростатической компоненты и идеальном упругопластическом поведении для девиаторной 90
Г лава 2
компоненты в материале также существует пластическая волна, движущаяся со скоростью
Эта двухволновая структура обусловлена билинейной зависимостью напряжения от деформации (рис. 2.29) и эквивалентна волновой структуре в задаче о волнах в материале с билинейной зависимостью а (є) при одноосном напряжении, впервые решенной Доннелом [42] (рис. 2.1).
Модуль, от которого зависят скорости пластической волны в (2.83), меньше модуля для упругих волн в (2.82) из-за сдвигового пластического течения. При низких напряжениях модуль объемного сжатия К можно считать постоянным. С ростом напряжений модуль объемного сжатия увеличивается, кривая зависимости напряжения от деформации становится выпуклой. Как и в случае одноосного напряжения [112], скорости распространения более высоких амплитуд напряжения превосходят скорости распространения более низких, и в конечном итоге высокие амплитуды догоняют низкие, что приводит к формированию пластических ударных волн. При достаточно высоких давлениях пластические ударные волны могут догнать упругий предвестник и образовать единую ударную волну.
Как и в случае одноосного напряжения, задача о распространении волн одноосной деформации еще более усложняется при возникновении разгрузки. Однако в случае одноосной деформации даже без изменения знака приложенной нагрузки возможны повторные пластические деформации (при разгрузке) с образованием в результате упругих и пластических волн разгрузки. В работе [114] приведен расчет кривой стх(єх) одноосного деформирования по данным простых испытаний на растяжение и сжатие с учетом разгрузки. Кривая при одноосном напряжении задана в общем виде
на основании действительных данных для алюминиевого сплава 24S-T (рис. 2.30). Параметры упругости приняты постоянными и при умеренном значении гидростатической компоненты напряжения, что эквивалентно предположению о линейноупругом поведении для гидростатической компоненты. На рис. 2.31 показана расчетная кривая одноосного деформирования, на котором точки 0, е, 2, 3, 4, 5 соответствуют точкам 0, е\ 2', 3', 4\ 5' на рис. 2.30. До точки 2' не происходит разгрузки и справедливы полученные уравнения: между точками 0 и е' выполняется соотношение упругости, между точками е' и 2'-условие текучести (2.77). Точка е' была определена как предел упругости. Выше предела упругости уравнения можно преобразовать к виду
