Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Для оценивания параметров а и ? Мао и Пачинский (1996) использовали метод моментов и метод максимального правдоподобия.1 Хотя оценивание ПО методу моментов быстрее, и полученные результаты BO МНОГИХ СЛуча. ях согласуются с методом максимального правдоподобия, метод моментов менее точен и в некоторых случаях вообще не дает результата. Мао и Пачинский (1996) приводят одну из возможных причин. Так, в результате статистического моделирования микролинзирования может оказаться что величина значения среднего квадратического отклонения больше, чем as = 0.240. Такие случаи возникают при a > as. В этих случаях метод моментов не может быть использован. Мао и Пачинский (1996) приводят аналогию со старой проблемой обработки данных наблюдений, связанной с обнаружением отрицательных тригонометрических параллаксов удаленных звезд, т.е. с отрицательными числами, связанными с влиянием неустранимых ошибок измерений. По этой причине эти авторы приводят также результаты, полученные с помощью метода максимального правдоподобия, тем не менее, общее обсуждение дано ими с использованием метода моментов.
Приведем результаты моделирования по методу Монте-Карло, изложенные в работе Мао и Пачинского (1996). Выводы из результатов моделирования
Проведенное Мао и Пачинским (1996) имитационное моделирование продемонстрировало тот факт, что даже в том случае, если полностью известно пространственное и кинематическое распределение линз или, что эквивалентно, известна зависимость распределение характерного масштаба времени в зависимости от массы линзы, может оказаться весьма трудно определить параметры распределения масс линз. Эта проблема весьма серьезна особенно в том случае, когда ширина функции масс мала (? < 1)-Кроме того, если степень функции масс значительно отличается от —1.5, то оказывается весьма трудно определить верхний предел масс при а <С —1-® и нижний предел масс при а > —1.5 .
Мао и Пачинский (1996) провели сравнение результатов своей работы с результатами Хана и Гоулда (1995а), получившими более сильные ограничения на функцию масс линз галактического диска, исходя из имеющихся данных о 50 событиях микролинзирования в направлении галактического балджа. Тем не менее, следует заметить, что верхний предел масс, равны" IOM0 рассматривался Ханом и Гоулдом (1995а) как исходное предположение. Это согласуется с результатом Мао и Пачинского (1996), что при известном верхнем пределе масс другие параметры распределения могу'1
1 Весьма доступное и обстоятельное изложение этих методов имеется в книге Пугачева (1979). еделяться более точно. Т.о., по-видимому, следует признать более реа-°"стичным подход Мао и Пачинского (1996), заключающийся в том, чтобы Менять верхний предел масс, исходя из метода максимального правдоподо-о Cb этом случае можно избежать априорных предположений об области
60я V , >
значений физических параметров).
В общем случае, если необходимо оценить три независимых параметра, нгіпример, M0, а и ?, то любой метод должен эффективно использовать информацию, имеющуюся в первых трех моментах. Тем не менее, qeM выше момент, тем с большей неопределенностью он определен для относительно небольшого числа событий. Поэтому точность определения параметров любого распределения, вообще говоря, ниже при трехпараме-Трическом определении, чем при двухпараметрическом. Однако небольшие ошибки при двухпараметрическом оценивании параметров могут дать правильный результат только в том случае, если имеется независимая верная информация о третьем параметре.
Во втором примере, проанализированном в работе Мао и Пачинского (1996), область детектирования такова, что возможно получить информацию о достаточно широком диапазоне масс и придти к выводу, что величина коэффициента А и показатель степени функции масс линз а могут быть достаточно точно оценены при наблюдении примерно ~ 100 событий. Тем не менее, оценка диапазона масс в пределах области детектирования Anin Или /Зтах МОЖЄТ ИМвТЬ большую НЄОПрЄДЄЛЄННОСТЬ при ЧИСЛЄ Событий п = 100.
В случае, если функция масс шире, чем область детектирования, тої да общая частота событий или общая оптическая толщина (или общая масса) не может быть измерена, поскольку большая часть событий находится вне области детектирования, и эти события характеризуются слишком большим или слишком малым значением to- Вследствие этого возникает проблема расширения области детектирования. Некоторые попытки расширения области детектирования уже сделаны группами EROS (Ансари и Др. (1995)) и MACHO (Беннетт и др. (1996)).
Мао и Пачинский (1996) приводят критерий того, как можно определить, достигнута ли верхняя и нижняя граница масс линз. Для этого необходимо расширить область детектирования и обнаружить необходимое Количество событий чтобы убедиться в том, что имеется асимптотический степенной закон (9.31), (9.32). Для этого, по-видимому, необходимо обнаружить много больше 100 событий. Такое количество событий может быть обнаружено в направлении Галактического балджа, частота обнаружения этих событий весьма велика (Удальский и др. (1994) и Алкок и др. (1995b, 1995с)). Оценивание этих параметров с использованием 10 наблюдаемых событий может приводить к большим неопределенностям.
