Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
N=-n,T^, (9.27)
7г io
при to = const, где 2/7Г - отношение диаметра Эйнштейна к его площади (в безразмерных единицах), т - оптическая толщина, где п$ ' число наблюдаемых источников (Мао, Пачинский (1996)).
9.6. Анализ модели Мао-Пачинского
Предположим, что имеется распределение для характерного временно!"0 масштаба, поскольку линзы ( все с одним и тем же значением массы ^ и одним и тем же значением пространственной скорости V) имеют траис' версальные скорости в диапазоне 0 < Vt < V, а расстояния в диапазон1' g ? Диализ модели Мао-Пачннского 249
^ Pd < Ds- Прямыми (но громоздкими) вычислениями получаем соотно-0^faie (Мао, Пачинский (1996))
О— Ді ЛОО
N= — nsT ^= / N'{to) dto, (9.28)
*т Jo
где величина
.=(I) -W4
\ У / Dd=0.5D, \ L / v
(9.29)
определяет характерный масштаб времени для события микролинзирова-ЛИЯ, вызванного линзой, находящейся ровно посередине между источником И наблюдателем и движущейся с трансверсальной скоростью V, тогда распределение вероятности для характерного масштаба времени задается соотношением (если перейти к безразмерному аргументу плотности вероятности Po (to) = N'(to)/N)
ро(to) dto = pr(T)dT
1
-K2Ti
-67X1 + T2) + (3 + 2712 + 37і4) In
\+T
dT, (9.30)
где T := to/tm,0 < to < оо. Несмотря на то, что плотность вероятности данного распределения логарифмически расходится при to = <т, тем не менее, интеграл от плотности вероятности конечен. Заметим, что плотность вероятности удовлетворяет соотношению: po(l/T) = Т2ро(Т). Поэтому вероятность того, что характерный масштаб времени больше, чем Т(> 1),
равна вероятности того, что характерный масштаб времени короче, чем т-1
Асимптотическое поведение вероятности, определяемой путем интегрирования плотности вероятности, имеет вид
РоКГ) = ^-^, при Г«1, (9.31)
1 OQ 1
^0(>Т) = ^- —, при Г»1. (9.32)
Асимптотическая степенная зависимость является общим свойством для •Фактически всех распределений гравитационных линз. Следуя рассужде-^иям Мао и Пачинского (1996), приведем простое качественное объяснение наличия этих асимптотик. События с большой продолжительностью в°зникают тогда, когда линзы движутся практически вдоль луча зрения. Для таких событий масштаб времени t обратно пропорционален sin і, т.е., ^oc г-1. Число таких событий N, пропорционально телесному углу (1 — co^i), деленному на t, т.е., N ос (1 — cosi)/t ос г3 ос t-3. С другой стороны, события с малой продолжительностью образуются линзами, которые близки или к линзе, или к наблюдателю. Для этого случая, когда линза близка к наблюдателю, t ос Re ос D1J2, и число таких событий N ос R2e Dd/1 ^ ^ Аналогично можно рассмотреть случай, когда линзы близки к источц^ '
Следует отметить также, ЧТО ТОЛЬКО первые два момента конечны-И (to), в TO время как третий И последующие моменты расходятся. Поэтом удобнее использовать распределение логарифмической вероятности, опреУ деляемое как
Po (log to) dlog to = (In 10) to po (to) dlog to, (9.33)
для которого все моменты конечны. >
Используем полученные ранее результаты в предположении, что Имеется трехмерное гауссово распределение для скорости линз:
/2\1/2 ( V2 \ V2 dV P(V)dV=[-) exp (9.34)
где OV - одномерное среднеквадратическое или стандартное отклонение, связанное с трехмерным среднеквадратическим отклонением, определяемое следующим образом (Tv — Vrma I\/3- Общее число событий, ожидаемых от линз с таким распределением скоростей, задается соотношением
„ f9n\1/2 At , гч
Ns = Ы П'ТГ' (9-35)
где
ttr = tm(V = rv)=j- ) . (9.36)
1/2
Нижний индекс 8 показывает, что все линзы имеют одинаковые массы, т.е. функция распределения линз по массам есть <5-функция.
Проделав простые алгебраические преобразования, можно переписать выражение для плотности вероятности распределения характерного масштаба времени микролинзирования
1 г OO 2 і \г
ps(t) = ъ / ехр(-—) г4 PT(Vt)'dv, t = f, V=-Z-, (9.37) ZJ0Z tcr (TV
где рт определено из соотношения (9.30). В этом случае нетрудно выписать асимптотики
ps(< *) = J^" <3- при t«l, (9.38)
Р*О ') = рг. np« ' » (9.39)
Используя аналитическое выражение для плотности вероятности масштаба времени, соответствующего микролинзированию, можно численно найти g? дяализ модели М&о-Шчинского 251
егралы для определения соответствующих моментов распределения, а **\иосГЬ вероятности МОЖНО аппроксимировать В пределах 6%-НОЙ Т.ОЧ-1,110 соотношением (Мао и Пачинский (1996))
Pi(Iogt) dtogt«
х 10-1.44(lOgt+0.293)exp[-((logt+0.28)/0.304)a] JJogtj (9 40)
~ 1 + 15t6
где
2
,5.5
с=—In 10 « 18.71. (9.41)
Первые два момента и стандартное отклонение определяются соотношениями
у» oo
< log t >s:= I ps(t) logt dt = -0.242, (9.42) Jo
/*оо
< (logt)2 >і:= / ps(t) (logt)2 dt = 0.116, (9.43) Jo
ub := [< (log t)2 >6- (< log t >s)2]1/2 = 0.240. (9.44)
Предположим далее, что имеет место степенной закон для распределения масс линз:
р(М) dM = A dM, при Mmin < M < Mmax, (9.45)
+
где Mo := (MminMmax)1^2. Нормализованная функция массы может быть переписана в логарифмической форме:
