Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
П П
Jj [I^miVi] = [т\т.х\] = Lc,
i = l 1=1
где г \ = Ti -Tc — радиус-вектор і-й точки в системе отсчета,
движущейся вместе с центром масс.
Связь между значениями момента импульса механической системы L относительно неподвижной точки О и относительно центра масс Lc имеет вид:
L = Lc + [гср],
П
где P=I mCvІ — импульс системы в ее абсолютном движении, і = 1
§ 1.4.2. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
61
§ 1.4.2. Момент инерции
1°. Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси а называется физическая величина Ja, равная сумме произведений масс всех п материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:
П
Ja = I ЩР? *
і= I
где Zni и Pi — масса і-й точки и ее расстояние от оси.
Момент инерции тела
Ja= S P2dm = I P2DdV,
(т) (F)
где dm = DdV — масса малого элемента объема тела dV, D — плотность, ар — расстояние от элемента dV до оси а.
Если тело однородно, т. е. его плотность всюду одинакова,
то
Ja = D J p2dV.
(V)
Момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг неподвижной оси а (1.4.3.4е), подобно тому как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
2°. Момент инерции данного тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса—Штейнера) момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела т на квадрат расстояния d между осями:
J =Jc + md2.
3°. Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей (табл. 1.4.1).
62
ГЛ. 1.4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Таблица 1.4.1
Тело Положение оси а Момент инерции Ja
Полый тонкостенный Ось цилиндра TnR2
цилиндр радиуса R
и массы т
Сплошной цилиндр (диск) радиуса R Ось цилиндра I mR2
и массы т
Шар радиуса R и массы т Ось проходит через центр шара Imtf
Тонкостенная сфера Ось проходит через центр ImB2
радиуса R и массы т сферы
Прямой тонкий стержень длины I Ось перпендикулярна к стержню и проходит йт'2
и массы т через его середину
Тот же стержень Ось перпендикулярна к Im'2
стержню и проходит
через его конец
4°. Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:
Jxy = f xydm = J xyDdV,
(m) (V)
Jxz = J xzdm = J хzDdV,
(т) (V)
Jy2 = I Уzdm = J yzDdV,
(т) (V)
где х, у и z — координаты малого элемента тела объемом dV, плотностью D и массой dm.
Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны
§ 1.4.3. ЗАКОН ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
63
нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трех главных осей инерции, проведенных в произвольной точке О тела, называются главными моментами инерции тела.
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции тела относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.
§ 1.4.3. Основной закон динамики вращательного движения
1°. Из законов Ньютона следует, что первая производная по времени t от момента импульса L механической системы относительно любой неподвижной точки О равна главному моменту мвнешн относительно той же точки О всех внешних сил, приложенных к системе:
dL
= мвнешы.
Это уравнение выражает закон изменения момента импульса системы. Оно справедливо, в частности, для твердого тела, шарнирно закрепленного в точке О и вращающегося вокруг нее. В таком случае это уравнение выражает основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.
В проекциях на оси неподвижной прямоугольной декартовой системы координат с началом в точке О закон изменения момента импульса системы записывается в виде:
dLr dL„ dL,
± = Д^внешн У = внешн ___________? = д^внешн
dt dt ^ dt
Здесь Lx, Ly, L2 и М®нешн , Mfleum, М®нешн — моменты импульса системы и главные моменты внешних сил относительно соответствующих осей координат.
64
ГЛ. 1.4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
2°. Пример. Регулярная прецессия гироскопа под действием его силы тяжести. Гироскопом (симметричным гироскопом) называется симметричное твердое тело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии, которая может изменять свое направление в пространстве. Гироскоп имеет три степени свободы (1.1.5.6°), если он закреплен в одной неподвижной точке О, принадлежащей его Рис. 1.4.3 оси и называемой центром подвеса гироскопа. Если центр подвеса совпадает с центром тяжести С гироскопа, то такой гироскоп называется уравновешенным, или астатическим, гироскопом: действие на него силы тяжести не вызывает изменения состояния его вращения. В противном случае гироскоп называется тяжелым гироскопом (рис. 1.4.3). Под действием момента силы тяжести относительно точки О
