Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
§ 1.4.4. Закон сохранения момента импульса
1°. Закон сохранения момента импульса', момент импульса замкнутой системы (1.2.2.4°) относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени, т. е.
-г- s 0 иЬ = const. at
68
ГЛ. 1.4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Соответственно момент импульса замкнутой системы относительно ее центра масс (1.4.1.7е) не изменяется с течением времени:
—jj = 0 и Lc = const.
Подобно законам сохранения импульса и энергии, закон сохранения момента импульса далеко выходит за рамки классической механики. Он принадлежит к числу самых фундаментальных физических законов, так как связан с определенным свойством симметрии пространства — его изотропностью. Изотропность пространства проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы не зависят от выбора направления осей координат инерциальной системы отсчета, т. е. не изменяются при повороте в пространстве замкнутой системы как целого на любой угол.
Согласно современным представлениям моментом импульса могут обладать не только частицы и тела, но также и поля, причем элементарные частицы и построенные из них системы (например, атомные ядра) могут иметь момент импульса, не связанный с движением этих частиц в пространстве и называемый их спином (табл. VIII.2.2 и VIII.2.3).
2°. Применительно к системам, описываемым классической (ньютоновской) механикой, закон сохранения момента импульса можно рассматривать как следствие законов Ньютона. Для замкнутой механической системы главный момент внешних сил относительно любой неподвижной точки (а также относительно центра масс системы) тождественно равен
нулю: мвнешн = 0 (соответственно Мснешн = 0 (см. 1.4.1.6°), где F = рвнешн = Qjj и из 1.4.3.1° следует закон сохранения момента импульса:
П
L=^ EriOTiVi] = const, і= 1
где OTi, Ti и Vi — масса, радиус-вектор и скорость ?-й материальной точки системы, состоящей из п таких точек.
§ 1.4.4. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
69
Соответственно (см. 1.4.1.7° и 1.2.5.3е),
П П
LC = Z WtMft-Vft] = E WiTTliVi] = const,
і = 1 і = I
где T1i = Ti - rc, v'j = Vi - vc, a rc и vc — радиус-вектор и скорость центра масс системы.
3°. Если система не замкнутая, но действующие на нее внешние силы таковы, что их главный момент относительно неподвижной точки О тождественно равен нулю (Мвнешн = 0), то, согласно законам Ньютона (1.4.3.1°), момент импульса системы относительно той же точки О не изменяется с течением времени: L = const. Этому условию практически удовлетворяет, например, уравновешенный гироскоп (1.4.3.2е) с тремя степенями свободы, момент сил трения в подвесе которого достаточно мал. При любых поворотах подставки такого гироскопа,, удерживающей в покое его центр подвеса, ось гироскопа сохраняет свою ориентацию относительно неподвижной инерциальной системы отсчета1.
Обычно Мвнешн ^ 0 и L Ф const. Однако, если главный момент внешних сил относительно какой-либо неподвижной оси, проходящей через точку О, тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно этой оси не изме-
BHC11IH
няется с течением времени. Например, если M2 = 0, то Lz = const.
В случае, когда система вращается вокруг неподвижной оси OZ, а главный момент внешних сил относительно этой оси
Мвнешн _ г.
г =0, момент импульса системы относительно оси вращения не изменяется с течением времени:
J2 CO = const,
где CO и J2 — угловая скорость и момент инерции системы.
1 Предполагается, что вектор L направлен по оси гироскопа. В противном случае свободный гироскоп совершает регулярную прецессию: его ось описывает круговую коническую поверхность, вершина которой находится в центре подвеса, а ось направлена вдоль вектора L = const.
70
ГЛ. 1.4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Если под действием внутренних сил, а также внешних сил, удовлетворяющих условию М®нешн = 0, система деформируется и ее момент инерции J2 изменяется, то соответственно возрастает или убывает угловая скорость со.
4°. Свободными осями тела называются такие оси, вокруг которых свободное твердое тело (1.2.2.3°) может вращаться с постоянной угловой скоростью ш в отсутствие всяких внешних воздействий. Такое вращение тела называется инерционным, или свободным, вращением. Свободные оси тела совпадают с его главными центральными осями инерции (1.4.2.4°). В общем случае значения J1, J2 и J3 главных центральных моментов инерции тела (1.4.2.4°) различны. Свободное вращение такого тела (например, однородного прямоугольного параллелепипеда с ребрами различной длины) практически осуществляется только вокруг двух свободных осей, соответствующих экстремальным значениям главных центральных моментов инерции — наибольшему и наименьшему. Вращение тела вокруг его третьей главной центральной оси, соответствующей промежуточному значению момента инерции тела, неустойчиво: даже малые внешние воздействия способны вызвать значительные отклонения мгновенной оси вращения тела от ее первоначального направления в теле.
Если значения двух главных центральных моментов инерции тела одинаковы: J1 = J2 # J3, то устойчивое свободное вращение такого тела (например, однородного кругового цилиндра) возможно только вокруг свободной оси, соответствующей отличному от них третьему значению момента инерции тела J3. Для однородного кругового цилиндра такой свободной осью является его ось симметрии. Однако, если длинный, тонкий цилиндр приводится во вращение с помощью нити, прикрепленной к его концу, то устойчивым оказывается вращение цилиндра вокруг свободной оси, соответствующей наибольшему значению его момента инерции. Эта свободная ось перпендикулярна оси симметрии цилиндра.
