Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
45
mV2
WK=W'K + — +j>'V,
где m — масса системы, р' = mv'c — импульс системы относительно системы отсчета К', v'c — скорость центра масс системы относительно К'. Это соотношение справедливо как при V = const, т. е. когда К' — инерциальная система отсчета,
dV п так и при -JJ * 0.
В частности, если система отсчета К' движется относительно К поступательно со скоростью Vc центра масс системы, т. е.
V = vc, то v'c = 0 и
2
mvr
+ wv
Это равенство выражает теорему Кёнига: кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии, которую имела бы материальная точка, обладающая массой, равной массе всей системы, и движущаяся со скоростью ее центра масс, а также кинетической энергии той же системы в ее движении относительно поступательно движущейся системы отсчета с началом в центре масс.
Из теоремы Кёнига следует, что кинетическая энергия абсолютно твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения этого тела со скоростью его центра масс и кинетической энергии вращения тела вокруг центра масс.
§ 1.3.3. Потенциальная энергия
1°. Потенциальной энергией называется часть энергии механической системы, зависящая только от ее конфигурации, т. е. от взаимного расположения всех частиц (материальных точек) системы и от их положения во внешнем потенциальном поле (1.3.1.6°). Убыль потенциальной энергии при перемещении системы из произвольного положения 1 в другое произвольное положение 2 измеряется той работой A12, которую совершают при этом все потенциальные силы (внутренние и внешние), действующие на систему,
46
ГЛ. 1.3. РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
Wn(I) -Wn(2) =A12,
где Wn(I) и W„(2) — значения потенциальной энергии системы в начальном и конечном положениях. Соответственно работа потенциальных сил при малом изменении конфигурации системы 5А — -dW,
П*
Примечание. Предполагается, что внешние потенциальные силы стационарны, т. е. могут изменяться со временем только вследствие изменения положения рассматриваемой системы относительно системы отсчета. В противном случае
awn
dWn = -5A+ dt.
В простейшем случае, когда система представляет собой материальную точку, находящуюся в потенциальном поле, связь между силой F, действующей на точку, и потенциальной энергией Wn этой точки в поле имеет вид
3W 3W 3Wn
F> - - -эГ - - W ¦F* = - ~ST иv - -grad^-
Потенциальная энергия материальной точки Wn связана с силовой функцией (1.3.1.8°) соответствующего потенциального поля соотношением
dWu = -ЙФ, или Wn(x, у, г, t) = -Ф(лг, у, г, t) + С,
где С — постоянная интегрирования.
2°. Соотношения п. 1° позволяют найти зависимость потенциальной энергии системы от ее конфигурации только с точностью до произвольного постоянного слагаемого, не влияющего на изменение энергии. Для получения однозначной зависимости потенциальной энергии системы от ее конфигурации в каждой конкретной задаче выбирают так называемую нулевую конфигурацию, в которой потенциальную энергию системы условно считают равной нулю. Таким образом, потенциальная энергия системы в произвольном состоянии равна работе, совершаемой всеми действующими на систему потенциальными силами при переводе системы из рассматриваемого состояния в состояние, соответствующее нулевой конфигурации.
§ 1.3.3. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
47
3°. Пример 1. Потенциальная энергия материальной точки в однородном силовом поле. Пусть сила F, действующая на точку со стороны поля, направлена вдоль оси OZ, т. е. F = F2Vl, где к — орт оси OZ, а проекция F2 силы F на ось OZ не зависит от координат точки. Тогда
dWu = -F dr = -F2 dz и Wn(z) = -F2Z + Wn(O)1
где Wn(O) — значение потенциальной энергии материальной точки на уровне Z= 0.
В частности, потенциальная энергия материальной точки массы т, находящейся в однородном поле силы тяжести у поверхности Земли (ось OZ направлена вертикально вверх, Fz = -mg, g — ускорение свободного падения), равна
Wu(z) = mgz + Wn(O).
4°. Пример 2. Потенциальная энергия материальной точки в поле центральных сил. В потенциальном поле центральных сил на материальную точку действуют силы F, которые всюду направлены вдоль прямых, проходящих через одну и ту же неподвижную точку — центр сил, и зависят только от расстояния г до центра сил:
F-ВДЇ.
Здесь г — радиус-вектор, проведенный из центра сил в рассматриваемую точку поля, a Fr(r) — проекция силы F на направление вектора г, зависящая только от расстояния г. Если материальная точка притягивается к центру сил, то FXr) =? -|F| < 0, если же она отталкивается от центра сил, то Fr(r) = |F| > 0. Элементарная работа силы F
SA = F dr = Fr(r) dr.
Потенциальная энергия материальной точки
CO
Wn{r)=jFr(r)dr + Wn(oo).
48
ГЛ. 1.3. РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
Обычно за начало отсчета потенциальной энергии принимают энергию материальной точки, находящейся бесконечно далеко от центра сил, т. е. полагают Wn(°°) = 0:
Примерами центрального силового поля, в котором сила обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра сил (Fr(r) ~ г-2), могут служить гравитационные поля материальной точки и однородного шара, электростатические поля точечного заряда, а также сферы и шара, равномерно заряженных соответственно по поверхности и по объему.