Теория и расчет оптико-электронных приборов - Якушенков Ю.Г.
ISBN 5-88439-035-1
Скачать (прямая ссылка):
у(х)= ±ук(х)ук(х), (2.7)
(X)'
V*(*) = '
где IfeI = O, 1, 2, 3, ...; ук (X) - у (Hhx)-, Ax = l/(2fmax);
S^Ttfmax (x-kAx)
2^fmaxix-kAx)
Функции \\ік(х) обладают свойством ортогональности, т. е.
[ 0
[у*(*)уф)<**Н 1 при (2.8)
[2fmax k = l.
Из (2. 7) и (2. 8) можно получить выражение для энергии сигнала
+<*> у +оо
J y\x)dx=J-Y,yl-
_оо ilImax -оо
Для конечного интервала значений х (0... х) действительны разложения вида (2.7) с заменой пределов интегрирования в (2.8) на 0... х и суммирования на 1... п, где n=x/Ax=2fmaxx.
При п» 1 погрешность от перехода к новым пределам невелика, т.е. в интервале 0...Х функция у (х) полностью определяется п выборками из нее.
39 Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов
Рнс. 2.2. Представление непрерывных функций дискретными значениями
Рассмотрим две функции (рис. 2.2). Очевидно, что для дискретизации функции Ill(X) (рис. 2.2,а) требуется большее число составляющих, т. е. Ax у нее меньше, чем у функции уг(х) (рис. 2.2,6). Также очевидно, что первую функцию можно представить рядом или интегралом Фурье с большим числом составляющих. Это согласуется с данным выше определением: чем больше fmax, тем меньше должен быть интервал Ах.
Прохождение детерминированного сигнала через линейные звенья. Для описания процесса прохождения сигнала через линейные звенья с постоянными параметрами применяют спектральный метод и метод суперпозиции.
Спектральный метод (метод спектрального разложения) основан на использовании передаточной функции или частотной характеристики К(] <?>).
Если входной сигнал
1 +сс
uUx)= Jk [uex(ia)exv(i(?>x)d(?> .
—00
то выходной сигнал
J +00
uetlx(x) = — jUex(j(S})K(j(S})exp(j(Six)d(S} ,
—QO
где Л:(/со) = ^^ = Х(со)ехр[/ф(со)],
т.е. К(а>) определяет как бы вес отдельных спектральных составляющих входного сигнала в их вкладе в выходной сигнал, а ф (со) -фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного.
28 Глава 2. Сигналы и помехи в оптико-электронных приборах
Метод суперпозиции (метод интеграла наложения) состоит в том, что сложный входной сигнал представляют в виде совокупности очень коротких импульсов и рассматривают выходной сигнал системы как сумму реакций на эти сигналы. Выходной сигнал системы при воздействии единичного импульса, т. е. дельта-функции, называется импульсной характеристикой системы и обозначается g(x). Так как спектр единичного импульса равен единице для всех частот, то
1 +сс
u»4x(x) = g(x) = — jK(j(o)exp(jmx)da ,
-ее
т.е. частотная и импульсная характеристики системы являются парой преобразования Фурье.
Отсюда ясно, что функцию K(j to) можно определить экспериментально, исследуя реакцию системы на единичный импульс. Например, на вход системы подается короткий импульс, сигнал с выхода поступает на анализатор спектра, в результате находится частотная характеристика К(] (Oj).
В оптике короткому импульсу аналогична мира в виде точки. Распределение энергии в кружке рассеяния, т.е. в изображении точки, определяет импульсную характеристику (весовую функцию) оптической системы.
Найдем в общем виде выражение для выходного сигнала ивых(х), если на вход линейного звена или системы поступает сигнал ивх(х), а импульсная характеристика системы g(x) известна. Для этого сигнал произвольного вида можно разбить на элементарные импульсы и найти реакцию системы на любой из этих импульсов с координатой X1 для произвольного значения аргумента х (рис. 2.3).
Рис. 2.3. К выводу (2.9)
Xi X^AX1
Если площадь какого-либо элементарного импульса равна единице, то его можно рассматривать как дельта-функцию, возникающую при значении аргумента X1. В этом случае импульсная реакция для
39 Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов
произвольного значения Xi равна g(Xi-X1). Поскольку площадь одиночного импульса на входе равна ивх(X1) Ax1, а не единице, то выходная реакция на такой сигнал будет ивх(X1) Ax1 g(X1-X1).
Складывая результаты действия отдельных элементарных импульсов в точке X1 ,нужно перейти к интегрированию последнего выражения, т.е. к интегралу свертки:
+00
"вых(*)= \u«x{xi)g{xi-xi)dxi • (2-9)
-ее
Для системы, у которой g(x) =g*(-x) и g(X1-X1) =g*(X1-X1), (2.9) можно переписать в виде
+00
Uebtx(Xi) = JUex(X1)g * (х, - X^dX1 ,
-ее
т.е. выходной сигнал является функцией взаимной корреляции входного сигнала и функции, комплексно-сопряженной с импульсной реакцией. Это часто применимо к оптическим системам.
Дальнейшее развитие методов спектрального разложения и метода суперпозиции для оптических систем рассмотрено в гл. 10.
2.2. Случайные сигналы и способы их описания
Случайным сигналом принято называть величину, которая может принимать любые значения в определенном интервале с определенной вероятностью. Основными характеристиками случайных величин являются: интегральный закон (функция) распределения случайной величины X, плотность распределения или дифференциальный закон распределения^х), математическое ожидание М(х), дисперсия D=Cr2 или среднее квадратическое значение (стандарт) с.
