Теория и расчет оптико-электронных приборов - Якушенков Ю.Г.
ISBN 5-88439-035-1
Скачать (прямая ссылка):
Одним из наиболее распространенных на практике является гаус-совский (нормальный) дифференциальный закон распределения
P W = -TS=exP
-mJxI
л/ЯГ^} 2а2
Математическим ожиданием или средним значением дискретного случайного сигнала х является сумма произведений всех возможных значений Xi на соответствующие им вероятности Pi, т.е. для конечного числа п значений х,
30 Глава 2. Сигналы и помехи в оптико-электронных приборах
aw »
M(X) = YxiPi или -,таккак HdPi=I.
2>,
Ы1
Для непрерывной случайной величины х математическое ожидание, являющееся начальным моментом первого порядка,
со
М(х)= ^xp(x)dx .
-с©
Математическое ожидание центрированной случайной величины X—М(X ) равно нулю.
Дисперсией D дискретной случайной величины является математическое ожидание квадрата отклонения значения случайной величины от ее математического ожидания, т. е. центральный момент второго порядка
D(x) = М{[х - М(х)]2} = ±[x-M(x)]2Pi = 1 ' i=i
Для непрерывной случайной величины
+ее +ее
D(x)= \[x-M(x)fp(x)dx= Jx*p[x)dx-[M(xtf = .
-ее -с©
Семейство случайных скалярных или векторных величин, зависящих от скалярного параметра (например, времени, пространственной координаты и др.), с заданными конечномерными функциями распределения случайных величин называется случайной функцией или случайным процессом. В практике ОЭП часто встречаются случайные функции не одного, а нескольких аргументов, например двух координат на плоскости и времени. При фиксированном значении аргумента одномерная случайная функция превращается в обычную случайную величину.
В отличие от характеристик случайных величин, представляемых определенными числами, характеристики случайных функций являются в общем случае не числами, а функциями. Так, математическое ожидание случайной функции s(x) является неслучайной функцией
39 Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов
аргумента х, равной при каждом значении этого аргумента математическому ожиданию сечения случайной функции, т. е.
00
Ms(x) = M[s(x)] = Jsp(s,x)ds.
-00
Дисперсией случайного процесса s (х) называется неслучайная функция Ds(X ), значение которой для каждого х равно дисперсии случайной величины X, т.е. дисперсии соответствующего сечения случайной функции:
Ds(x) = D[e(*)] = )[х-Ms(x)]2 p(s,x)ds.
-00
Случайные сигналы считаются стационарными, если их характеристики (математическое ожидание, дисперсия, другие начальные или центральные моменты) не зависят от аргумента (от начала отсчета аргумента) случайной функции.
Стационарный случайный процесс очень часто обладает эргоди-ческим свойством — усреднение его характеристик по множеству реализаций случайного процесса с вероятностью, близкой к единице, эквивалентно усреднению по одной его реализации при достаточно большом изменении аргумента.
Ковариационной функцией стационарного случайного процесса s(x) называется математическое ожидание произведения значений этого процесса S1 и S2, взятых для аргументов х и х+Дх, или второй смешанный начальный момент, т. е. выражение вида
QO 00
JiTs(Ax) = M Js^x^^x + Ax)j = J js1(x)s*2(x + Ax)p(s1,s2,Ax)ds1ds2,
-оо —оо
где * - знак сопряженности функции.
Для центрированного случайного процесса пользуются понятием «корреляционная функция», которая определяется как второй смешанный центральный момент
Rs (Ax) = M {[в, (х)-Ms (x)][S; (х + Ах) - Ms (х + Ах)]} =
00 00
= J J[s2ix)~Ms(*)][s2(х + Ах) ~Ms{x + д*)]/> (s;.s2.Axjds1 ds2,
—00 -00
где Ms(x) и MJX+ Ax) - математические ожидания сечений случайного процесса s(x) для аргументов х и х+Ах.
32 Глава 2. Сигналы и помехи в оптико-электронных приборах
Ковариационная и корреляционная функции связаны между собой следующим соотношением:
Rs(Ax) = Ks(Ax)-Ms(x)-Ms(x +Ах).
Для эргодического стационарного случайного процесса
=LmI^) Ux)dx;
^W = CTf = lim(^) ][S(x)-Ms(x)}2dx;
*,(Д*)=Ит(~) \s(x)s*(x + Ax)dx;
Rs(Ax) = to(t^r) Дв(*)-МД*)][в> + Д*)-МД* + А*)]й*;
JiTs(Ax) = Rs(Ax) +M !(x), где X - область определения случайного процесса.
Статистическая связь между отдельными значениями (ординатами) случайного процесса количественно оценивается интервалом (радиусом) корреляции
Axk = ~\Rs(Ax)d(Ax).
-со
Корреляционная функция обладает в общем случае свойством Rs(Ax)=R*s(-Ax), а если s(x) — действительная функция, Rs(Ax)= Rs(-Ax). В последнем случае корреляционная функция имеет максимум при Ax = 0.
Корреляционная функция периодического процесса s(x) также является периодической и имеет тот же период, что и s(x).
Корреляционная функция стационарного случайного процесса S (х) является четной и зависит только от промежутка Ax между двумя рассматриваемыми сечениями случайного процесса.
В отличие от детерминированных сигналов преобразование Фурье к амплитудным значениям случайных функций неприменимо, так как спектральная плотность самой случайной функции — понятие бессмысленное. Можно ввести понятие спектральной плотности дисперсии, так как последняя — неслучайная функция. Эта величина часто эквивалентна мощности, приходящейся на единицу полосы. Поэтому
