Теория и расчет оптико-электронных приборов - Якушенков Ю.Г.
ISBN 5-88439-035-1
Скачать (прямая ссылка):
39 Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов
Модуль спектра прямоугольного импульса протяженностью X11 с амплитудой E (рис. 2.1, а)
S(>) . EX,,
Sin со—"
I 2
CO---
S (X)1
Ц
2 2
IS(Za)IiL
S(X)
О хл
ууУТУУУ > ^
ISs(Za)Il I
4и _ 2и 0 2я 4я 6я ~ffl -а О
а; б)
I SO'ffl) LI
VftTlf
Zn
TC
П I І I и
о .2*
2п
о в)
KfTTv >
M
Zn
Рис.2.1. Сигналы и их спектры: а — одиночный прямоугольный импульс; б — дельта-функдия; в — периодическая последовательность прямоугольных импульсов
При (оХи/2«1, т.е. при приближении к дельта-функции, имеем
sinGo^c)
Iim--= 1 и ISf/co)! = EXlf = const.
Хи^о ^Xk і V /I
2
Таким образом, модуль спектра дельта-функции (рис. 2.1,6)
+00
IS6 (ju>)|= J8(*)d* = l. (2.3)
-00
Последнее выражение можно также получить, используя фильтрующее свойство дельта-функции. Пользуясь преобразованием Фурье, а также учитывая четность дельта-функции, можно представить её условное определение в виде
J +00
5(*)= — Jexp(±/au;)da>. (2.4)
-ее
20 Глава 2. Сигналы и помехи в оптико-электронных приборах
Последовательность импульсов прямоугольной формы (рис. 2.1,в) описывается рядом
^ I
s(x)=Ts(x-nYn); во(*Нл при , . X11
»=-» I-0 I х\>2'
где Yи- период импульсной последовательности. Спектр этой последовательности состоит из отдельных гармоник, отстоящих друг от друга на CO1 = 2п/Уи, и имеет модуль
X,
in[ racoj —^
+00 Sin
и п= оо —!L
1 2
Огибающая амплитуд гармоник повторяет огибающую спектра одиночного прямоугольного импульса.
Напомним некоторые свойства преобразования Фурье (теоремы о спектрах), необходимые для дальнейшего изложения.
1. Свойство взаимности. Если повторно применить прямое преобразование Фурье к спектру S(jo) функции s(x), то можно восстановить центрально-симметричный исходный сигнал, т. е.
+оо
JS(/to)exp(- j(ox)d(?> = 2ns(-x).
-ее
Действительно, если S(j<?>) — спектр функции s(x), то с учетом (2.1) можно записать
2 +СО I +СО
s(- х)=~2~~ Js(./<»)exp[yco(- ;c)]dcD = — Js(;'a>)exp[- jax^da .
-ее -ее
2. Свойство симметрии. Преобразования Фурье обладают свойством симметрии. Действительно, если вычислить преобразование для функции s*(x), комплексно-сопряженной с s(x), то получим
+ ее J +ее 1
|s*(jc)exp(- j(ax)dx = \ Js(/a>)exp[- j(-G>)x}dx\ =S*(- ja).
Для действительной функции s(x) = S*(X)
S*(- ja) = S(ja>) и S*(j(o) = S(-j(o).
39 Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов
Для действительной четной функции s(x) = s*(x) = s*(-x) S(ja>) = S*(-j(o) = S*(ja>).
3. Свойство линейности (теорема о спектре суммы). Если S1(Jd)) и S2(/со) — спектры функций S1(X) И s2(X) соответственно, a. a TZlb — произвольные комплексные числа, ТО спектр суммы OS1(X)-1- bs2(x), являющейся линейной комбинацией S1(X) и s2(X), равен линейной комбинации соответствующих спектров, т. е.
+00
Jfasj(Jc)+ 6s2(jc)]exp(- Jatxjdx = aS; (/со) + bS2(/co).
-OO
4. Теорема подобия. Если S(/со) - спектр функции s(х), то для любой действительной постоянной а спектр функции s(ax) равен S(/со/a )/а. Если заменить ах на у, то
Js(ajc)exp(- ja>x)dx = — Js(j/)exp^- /—j dy = —•
—ее —ее
Таким образом, в результате сжатия сигнала по координате х, ведущего к изменению функции в а раз быстрее, увеличиваются частоты, составляющие её спектр, и изменяются амплитуды гармоник.
5. Теорема запаздывания. Спектр S0(/со) функции s(x-x0) отличается от спектра S(/со) функции s(x) множителем exp (-j<ox0). Действительно, если сдвинуть функцию s(x) на х0, то её спектр будет
+00
-S0(/co)= Js(*-х0)ехр(-/оме)dx .
-ее
Заменяя переменную интегрирования х на у=х-х0, получим +00
S0(/co) = J s(y)exp[- /со (у+ x0)]dy = S(/co)exp(- /ео*0).
-ее
Заметим, что модуль спектра остается неизменным, т.е. I S0(Zco)) = | S(/co) I.
Применительно к случаю дельта-функции Ъ(х-х0) S0(Zco) = ехр(-Zomc0) •
6. Теорема о переносе спектра. Если сместить спектр S(/со), которому соответствует функция s(x ), по шкале частот на величину Q (действительное число), то сдвинутому спектру S [ Z (eo+Q)] соответствует функция
sn(x) = s(x)exv(-jnx) .
22 Глава 2. Сигналы и помехи в оптико-электронных приборах
Действительно,
+00 +00 S[/(co+ ?!)] = Js(jc)exp[-/(co + Q)]djc= J[s (jc)exp(- /хП)]ехр(- /cojcjdjc,
—ее —се
т.е. соответствующая этому спектру функция Sn(V) = s(jc)exp(- /fbc) .
7. Теорема о спектре свертки. Спектр S (jo) свертки
+00
sW= lsi{y)s2{x-y)dy
-ее
двух функций S1(X) И S2(X) равен произведению спектров S1(Jdi) и S2(ja) исходных функций S1(X) И s2(X). Действительно,
+00 +00
S(/со) = J js1(y)s2(x- у)ехр(- jax)dxdy =
-00—00 + 00 +00
= jsj(y)dy js2(x-y)exp(-jax)dx =
-00 -OO
+ 00
= Jsj (y)S2 (/co)exp(- jay)dy = S1 (ja) S2 (ja).
-00
8. Теорема о спектре произведения (обратная теорема свертки). Произведению функций S1(X) и s2(X ) соответствует спектр S12(со), являющийся сверткой спектров Sj(ja) и S2(ja) исходных функций. Из свойства взаимности преобразований Фурье
