Теория и расчет оптико-электронных приборов - Якушенков Ю.Г.
ISBN 5-88439-035-1
Скачать (прямая ссылка):
2 Якушенков Ю.Г.
33Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов
ее называют энергетическим спектром случайной функции (статистическим спектром). А. Я. Хинчин и Н. Винер показали, что ковариационная функция и энергетический спектр стационарного случайного процесса являются парой преобразования Фурье, т.е.
00
W(«»)= JX (Д х) ex р (- /са Ax) <i (Ах);
—оо
1 °°
Ks(Ax) = — fW"(ci>)exp(/a>Ax)cia>.
2tz *
—00
На практике часто используется следующая связь между значением корреляционной функции Rs(Ax) при Ax=O и дисперсией D случайного процесса: Rs(0) -D = а/.
Для двумерных случайных функций, например, функций, описывающих случайный закон распределения яркости по полю, указанные выше положения сохраняют свою силу. Например, взаимная ковариационная функция для стационарного процесса в двумерном представлении
1 Х Y
Ks(Ax,Ay)=lim—- J js(x,y)s*(x + Ax,y+Ay)dydx,
yZZ -X-Y
где X, Y - пределы действительных значений аргументов х и у; s*() — функция, комплексно-сопряженная es С).
Часто выражение для Ks(Ах, Ay) записывают в виде
1 Х Y
Ks(Ax,Ay) = ~—~ J js(x,y)s*(x + Ax,y + Ay)dydx,
-X-Y
т.е. ковариация рассматривается по площади перекрытия функций s(x,y) ив* (х+ Ах, у+Ay).
Двумерный спектр Хинчина-Винера для эргодического двумерного случайного процесса имеет вид
оо оо —00 —00
Характеристики стационарного случайного сигнала так же, как и детерминированного, можно записать в векторной форме. Например,
W(ffi„) = рГв(Др)ехр[-/0? (Ap)Jd(AP),
©Др
где 8- — область существовании Ap. Если подставить в последнее выра-34Глава 2. Сигналы и помехи в оптико-электронных приборах
жение ковариационную функцию случайного процесса s(p) Xs(Ap)= lim — fs(p)s*(p + ApWp,
где 0р — область существования р; -Rjs - предел действительного значения р,то получим
^K) =Urn Je(P) Js * (р + Ар)ехр[-/ю- (Ap)Jd(Ар)dp.
p^ ' eP еДр
С учетом теоремы запаздывания внутренний интеграл
J S * (р + Ар)ехр[- /Wg(Ap)Jd (Ар) = S(c5?)exp(- /o-р).
Тогда
Прохождение случайного сигнала через линейные звенья.
При прохождении гауссовского случайного процесса со спектральной плотностью Wex((О ) через линейное звено (линейный фильтр) его выходное распределение остается гауссовским. Спектральная плотность этого сигнала на выходе
где Х(/о>) — частотная характеристика линейного звена.
2.3. Информационные характеристики сигналов
Многие ОЭП служат для сбора информации об исследуемом поле сигналов, например, о структуре поля яркостей в пространстве объектов. Для таких приборов важно свести к минимуму потери информации, содержащейся в исследуемом поле. В качестве меры информации, содержащейся в том или ином поле (в оптическом сигнале), обычно служит энтропия H — сумма произведений вероятностей различных состояний поля (сигнала)Pi на логарифмы этих вероятностей, взятая с обратным знаком:
п
H = -XlPiloSPi- (2.10)
ы
Величина п определяется числом возможных выборок сигнала. Логарифм в этой формуле может быть взят по любому основанию; на
2'
35Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов
практике за основание чаще всего выбирают 2, что хорошо согласуется с распространенной двоичной системой счисления. Знак минус перед суммой показывает, что энтропия положительна, поскольку Pi < 1 и логарифмы Pi отрицательны. Легко видеть, что энтропия обращается в нуль, когда полностью достоверна лишь одна из выборок сигнала, а другие невозможны. При росте п энтропия увеличивается. При объединении независимых сигналов или полей их энтропии складываются.
Легко показать, что в случае п равновозможных состояний сигнала, т. е. прир.=1/п, энтропия равна логарифму числа состояний:
H=Iog2U.
Формула (2.10) пригодна для дискретного представления сигналов в виде совокупности п выборок. При непрерывном сигнале или процессе, описываемом переменной у, плотность вероятности которой характеризуется функциейр(у), энтропия определяется как
QO
H = -\p(y)\og2[Ayp(y)]dy,
-ее
где А у — наименьший интервал значений у, с точностью до которого может быть определено это значение.
Если случайный сигнал у является функцией некоторого аргумента X, то оцениваемое энтропией количество информации, которое может быть получено на интервале значений аргумента 0 < х < X, определяется с помощью теоремы Котельникова, и при отсутствии статистической связи между отдельными отсчетами случайного стационарного процесса у(х)
QO
Н=-{1+ 2fmaxX)jp{y)log2[Ayp{y)]dy,
-00
где граничная частота fmax та же, что и в выражении (2.8). Здесь плотность вероятностир(у) стационарного случайного процесса, описывающего сигнал, одинакова во всех точках х.
К. Шенноном было показано, что полезная информация I смеси гауссовского случайного полезного сигнала и гауссовской случайной помехи равна разности энтропий смеси полезного сигнала с шумом Hc ш и помехи (шума) Hui:
I- Hст.
При статистически независимых сигнале и шуме, характеризуемых дисперсиями ас и аш2,
36Глава 2. Сигналы и помехи в оптико-электронных приборах