Теория и расчет оптико-электронных приборов - Якушенков Ю.Г.
ISBN 5-88439-035-1
Скачать (прямая ссылка):
+00
2nS(-ja) = Js(jc)exp(- jax)dx
~оо
и теоремы о спектре свертки следует, что для свертки спектров S1 (ja) nS2(ja)
+fS,(jV)S2[j(a-v)]dv
-00
преобразование Фурье S12(Ja)=Zns1 (X1) s2(x2). Отсюда спектр произведения исходных функций
1 +сс
¦М/ю) = J- J S1(Jv) S2[j (а - v)]dv.
39 Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов
Важным для практики следствием из теорем о спектрах является равенство Парсеваля, определяющее, что полная энергия процесса, описываемого функцией s(y), равна полной энергии спектра:
+00 у +-X
-OO -OO
что можно доказать, если рассмотреть свертку s(x) для х — 0. При этом свертка
+00 J +00
s(0) = js1(y)s2(-y)dy= — Js;(/(a)s2(/<a)d<a .
— 00 —00
Отсюда, учитывая свойство симметрии преобразований Фурье, т.е. тот факт, что при замене s2(у) на S2*(-у) происходит замена S2(ja>) на S2* (у со), а также предполагая st(y) = s2( у) = s(y), легко получить равенство Парсеваля.
Определим вид спектра сложной периодической функции, являющейся суммой отдельных гармоник, используя интегральное преобразование Фурье.
+00
Если s(jc)= ^С„ехр(у>ш;х), то, применяя преобразование Фурье
H=-OO
к обеим частям этого равенства, получим
+ оо +<»
s(j°>)= Zc" Jexp|y'(n<o; ~(u)x\dx ¦
С учетом (2.4)
+ 00
-00
+00
S{ja) = 2nYCnb{a-TUH1). (2.6)
П=-аО
Одной из основных особенностей оптических приборов и ОЭП является то, что сигнал часто нельзя представить одномерной функцией. Информацию об излучающем объекте можно описать функцией двух переменных (например, в виде функции координат в плоскости изображения) или более (например, как функцию трех линейных координат, длины волны, времени).
24 Глава 2. Сигналы и помехи в оптико-электронных приборах
Так, двумерную дельта-функцию можно использовать как модель точечного излучателя, находящегося в начале координат:
„ / \ f °о з: = 0, и= О
5 (х,у) = \ при 'у
V ' [О х*0,у*0
или в векторной форме
5(рИо при Il00-
|р| = фс2 + у2, J Js(x,y)dxdy=l .
-ее -ее
В этих случаях преобразования Фурье можно записать в многомерной форме, например в двумерной:
+ 00 +00
s{j(ox,j(oy) = J Js(or,i/)exp[-/(<a3Car + o>yi/)]d^di/
—се —00
или в векторной форме
S('®p) = Js(p)exp(-/<3pp)d0p,
Єр
где COj., (оу - так называемые пространственные частоты по осям х и у соответственно (см. ниже); й- — вектор пространственной частоты; (сЗрр) — «формальное» скалярное произведение векторов и р; — область плоскости вектора р с бесконечно большими пределами.
Пространственная частота является мерой повторяемости оптического сигнала, например яркости объекта или освещенности изображения, вдоль какого-либо направления, например, вдоль ортогональных осей хи у. Величины COj. и (Oy связаны с числами пространственных периодов X и Y на единицу длины, т.е. с циклическими пространственными частотами fx и fy: (ox=2nfx=2n/X; соy=2n/Y. Часто пространственную частоту рассматривают как меру повторяемости по углу, т.е. размерность со^, соу, сор или соответственно fx, fy, fp может быть обратно пропорциональной размерности не только линейной величины, но и угловой.
В тех случаях, когда в качестве независимых переменных используются не прямоугольные координаты хну, а полярные - р и а, причем х=р cosa, у=р sina, для нахождения пространственно-частотного спектра S(j(op) удобно использовать не преобразование Фурье, а преобразование Ганкеля:
00
S(<ap) = 2njs(p)pt7n(<app)dp,
о
39 Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов
где Jn() - функция Бесселя первого рода п-го порядка. Обратное преобразование имеет вид
оо
s(p) = Js(wp)wpt/„(wpp)dwp •
о
Если s(p, а) симметрична относительно центра полярной системы координат, т. е. ее форма определяется только радиусом р, то
S(<op)p = 2п Js(p)p J0(copp)dp,
о
OO
*(р)= Js(cop)topt/0(copp)dcop.
Для дальнейшего рассмотрения удобно определить вид спектра функции s(x,y) в том случае, когда один из ее аргументов, например, у, фиксируется, оставаясь постоянным, т. е. служит параметром. В этом случае с точностью до постоянной можно записать
QO 00
s(j(ox,J(Oy)= J \s(x)e^-j[(syxx + myy)Yxdy =
—оо —оо
00 00 = J s(z)exp(-/toxx)dx|ехр(-/юуг/)йг/ = 5(/ю;с)2я5(юу),
—оо —оо
где Ь((оу) - дельта-функция аргумента (оу.
Приведем некоторые используемые на практике преобразования Фурье:
прямоугольной двумерной функции
I I < а I I ^
sM = Io при *~2а'У~2ь
sin(®*§) sin(®4
I >/®y)|= L0ab-
a b
(O1- o>„ —
2 ' 2
26 Глава 2. Сигналы и помехи в оптико-электронных приборах
двумерной центрально-симметричной функции Гаусса s(p) = L0exp(-p*/a2) ;
|з(/йр)| = А,яа2ехр(-ю?а2/4) ;
круга равной яркости L0:
s(3] JL0 |Р| <Д;
^PJпри |р|>Д.
15(/0^)1 = 2^^(^6^1)/^0^ ,
где J1 — функция Бесселя первого рода 1-го порядка.
Помимо разложения в ряд Фурье нам в дальнейшем понадобится и другое разложение, известное как теорема Котельникова. Оно представляет собой разложение функции у (х), имеющей ограниченный спектр (от 0 до fmax), по ортогональным функциям V|>(X), причем коэффициенты этого разложения ук являются дискретными значениями у(х), взятыми через интервал Ах, т.е.
