Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Исходные уравнения
Предположим, что постоянное магнитное поле направлено вдоль оси z декартовой системы координат, а мощная падающая волна распространяется вдоль оси х. Более того, будем считать, что вектор напряженности электрического поля падающей волны направлен вдоль оси г, т. е. она является обыкновенной электромагнитной волной. Для начала рассмотрим бесстолкновительную плазму.
Введем индексы / = е, i, k для указания величин, относящихся к электронам, протонам и ионам примеси соответственно. Будем использовать следующие обозначения: т и q — масса и заряд частицы; N0 — невозмущенная плотность плазмы; п — возмущение
168
плотности частиц; v—гидродинамическая скорость частицы; Е и В — напряженности электрического и магнитного полей; и — тепловая скорость частиц. В нелинейных уравнениях удержим только те нелинейные слагаемые, которые описывают связь между различными волнами.
Уравнения движения в рассматриваемом случае имеют вид
&— Л-(ЕХ + vvb0) + (20.1)
dt т и N0 дх т ы
dvy/dt + (q/m) vxB0 = 0; (20.2)
-**- q * vs(-----------------------+ (20.3)
\ m u dx J
dt m
Из уравнения непрерывности и уравнения Пуассона следует, что
dn/dt + N0dvjdx = 0; (20.4)
РО.5)
Наконец, уравнения Максвелла сводятся к соотношениям
— dEjdx + dByldt = 0; (20.6)
^= V&44P* (20.7)
Нелинейные слагаемые в каждом из уравнений (20.1) — (20.7) вынесены в правую часть.
Заметим также, что из условия сохранения полного заряда вытекает соотношение
Noi = NJ( 1 + 2ЗД), (20.8)
где Cfe¦—относительная концентрация и Zh — зарядовое число примесных ионов сорта k.
Исключая компоненты поля Ех, Еу и Ву, а также скорость vx из уравнений (20.1) — (20.7), получаем следующую систему уравнений:
н*- ^++{Пе ~п‘ ~22кПк) = N°ei (Vz it}'
(20.9)
d*ni <i2 _i_„z , mr “>'
nn N.
2
u?-r^ + co2 M, + -22. -----------?»----- (n. — n + IZhnh) =
dt2 1 dx2 1 ~ mi 1 + 2ChZk K ‘ e~ h h’
1 +2CAZ*
<20J0>
ii “* ax' + + щ l + zc„,z,, (“| -
I*.»)
169
Noe Z\ m ' mi j где aPe = (Noee2/mee0Y^— электронная плазменная частота;
— — циклотронная частота для частиц различного
сорта.
Анализ уравнений (20.9) —(20.12) можно существенно упростить, используя приближенное равенство 2Zk'tik> « Zknh, которое означает пренебрежение влиянием тяжелых ионов других сортов на динамику иона избранного сорта k. В большинстве случаев пренебрежение законно. Тогда уравнение (20.12) перепишется следующим образом:
?_______siL + u? I гп0 <CkZf '
дх2 + mt I + щ,гг 1 + 2Ck,zk
<*>¦'?>
Из (20.13) видно, что связь tih с пе, л* и vz определяется простыми дифференциальными операторами, а это открывает возможность получения дисперсионного уравнения из условия существования нетривиального решения системы уравнений (20.9), (20.10),
(20.12) и (20.13).
Дисперсионное уравнение и его решения
Предположим, что напряженность электрического поля падающей волны накачки имеет вид
Е0 = 2?0zsin (a0t — k0x), (20.14)
и выразим 2-компоненту скорости электронов как
vz = 2u0cos((V — Кх) + v~> и~<ио. (20.15)
где
v0 = ( I е ] /теа0)Е0. (20.16)
Предполагая еще, что пространственно-временная зависимость плотности электронов определяется соотношением
пе = 2п0е cos (at — kx) (20.17)
и учитывая (20.12), представим скорость v~ в следующем виде: v„ = 2v+ cos [(со + w0) t — (k + k0) x] + 2v~ cos [(со — м0) t — (k — kQ) x],
(20.18)
что дает
(д/дх) (v2dvjdx) = — 2k2v0 (y+ +1»~) cos (at — kx). (20.19)
Пренебрегая в (20.12) слагаемыми, пропорциональными tnejtrii, получаем
(20.20)
