Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
*) В последнее время на парадокс Ольберса обратил внимание Бонди ([3], гл. III). § 1. Наивные модели: парадокс Ольберса
651
энергии всех звезд равна
OO OO
P-= j (4^5-) ^nr*dr = Lnj dr. (16.1.1)
о о
Этот интеграл расходится, т. е. плотность энергии звездного света бесконечна!
Чтобы устранить этот парадокс, и де Шезо, и Ольберс постулировали существование межзвездной среды, которая поглощает свет очень далеких звезд, вызывающий расходимость интеграла (16.1.1). Однако такое разрешение парадокса неудовлетворительно [3] из-за того, что в вечной Вселенной температура будет расти до тех пор, пока не установится тепловое равновесие между средой и излучением звезд, а тогда среда станет излучать столько же, сколько поглотит, и поэтому не будет понижать плотность энергии излучения. Сами звезды, разумеется, не прозрачны и полностью заслоняют свет достаточно далеких источников, но если этим разрешается парадокс Ольберса, то каждый луч зрения должен кончаться на поверхности звезды и все небо должно иметь температуру, равную поверхностной температуре типичной звезды.
Чтобы увидеть, почему в современной космологии не возникает парадокс Ольберса, заметим, что, согласно (14.4.12), видимая светимость звезды с абсолютной светимостью L и с сопутствующей координатой T1 равна (здесь поглощением пренебрегаем)
, LW (Ii) AnRi (г0) T12 '
где t0 — момент, в который звезда наблюдается, и Z1 — момент, в который она излучает наблюдаемый свет. Далее, согласно (14.7.4), число звезд со светимостью между LhL + dL, свет которых, наблюдаемый в момент Z0, был излучен между моментами Z1 — dtг и dt1: равно
dN = 4пR2 (Z1) T12Tz (Z1, L) At1 dL,
где п (t1: L) dL — плотность в момент Z1 звезд со светимостью между L и L dL. Отсюда полная энергия звездного света равна
to
ps0 = j J I dN == j X (<i) [4{§-]4 d*b (16-1-2)
— OO
где X — собственная плотность светимости:
X(I1)=S J n(tu L) L dL.
В космологии большого взрыва, очевидно, нет никакого парадокса, поскольку интеграл (16.1.2) эффективно обрезается в нижнем пределе Z1 = 0. а подынтегральное выражение при Z1 = О 652
Гл. 16. Космология: иные модели
стремится к нулю как R (^1). Вопрос о парадоксе Ольберса возникает лишь в моделях, в которых, как, например, в стационарной космологии, предполагается, что Вселенная существует бесконечно долго. В таких моделях необходимое условие отсутствия парадокса Ольберса состоит в том, что
^R4 (tj) X (tj) 0 при J1 -> —оо. (16.1.3)
Для нейтрино условие несколько более строгое [4]: вместо Ri (^1) ДОЛЖНО быть R3 (t-j), поскольку один из множителей R (tJ/R (t0) в (16.1.2) появляется из-за потери энергии индивидуальными «покрасневшими» фотонами, а для нейтрино в принципе наблюдаемы как плотность энергии, так и плотность частиц. Единственной популярной космологической моделью, в которой условие (16.1.3) не удовлетворяется, является модель осцилляций, обсуждавшаяся в § 11 гл. 15. В этом случае, чтобы не было парадокса Ольберса, необходимо поглощение, но оно происходит в эру очень сильного сжатия, и красное смещение при последующем расширении спасает нас от нестерпимо яркого ночного неба. С этой точки зрения 2,7-градусный микроволновый фон представляется тусклым отблеском того грозного огненного горнила, о котором поведали нам де Шезо и Ольберс.
§ 2. Модели с космологической постоянной
Когда Эйнштейн создавал общую теорию относительности (1916 г.), все считали Вселенную статической. Согласно (15.1.18) и (15.1.19), масштабный фактор R (t) может быть постоянным, только если
ч 3? р_ — ар - SjiGR2
Однако это требует, чтобы или плотность энергии р или давление р были отрицательными. Чтобы избежать такого нефизического-результата, Эйнштейн в 1917 г. видоизменил свои уравнения следующим образом [51:
R^—jg^R Pp-^v= -8 UGTllv, (16.2.1)
где К — новая фундаментальная постоянная, называемая космологической постоянной.
В конце § 1 гл. 7 мы уже отмечали, что уравнение (16.2.1) является наиболее общей модификацией уравнений Эйнштейна, сохраняющей то свойство, что Tliv приравнивается тензору, построенному ИЗ ^Jiv его первых и вторых производных и линейному по вторым производным ^jxv. Однако для наших нынешних целей удобнее перенести ^glxv в правую сторону уравнений:
R1*,- Yg^Rpp=SnGTllv, (16.2.2) § 2. Модели с космологической постоянной
653
где Tiiv— модифицированный тензор энергии-импульса
Trliv = Tllv-g^. (16.2.3)
Если Tiiv имеет вид (15.1.12), соответствующий идеальной жидкости, то к такому же виду прлводится и Tliv:
Tliv = Pgliv +Cp+ Р) UllUv, (16.2.4)
где введень! модифицированные плотность и давление
P-P- Р-Р + -8Ш- (16-2'5>
Все результаты, полученные в § 1 гл. 15, по-прежнему применимы и в теориях с космологической постоянной при замене величин р и р модифицированными давлением и плотностью (16.2.5).
В частности, условие статичности Вселенной выглядит теперь следующим образом:
р=-3~р-«Лі=" <16-2-6>
Для Вселенной, заполненной «пылью» (т. е. р = 0), отсюда следует
