Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
тогда как чисто пространственные компоненты (16.4.12) приводят к уравнению
R 2(A)2 2 к 8я г/д , ч і, фА не / а/\
"7-У""йі— (3 + 2м)ф {(l + co)p-cop} + w; (16.4.14)
смешанные пространственно-временные компоненты просто обращаются в тождество 0 = 0. Уравнение поля (16.4.10) для ср теперь имеет вид
а из закона сохранения (16.4.11), так же, как в гл. 14, следует
ъА
R
(р + р). (16.4.16)
Исключая R из (16.4.13) и (16.4.14) и пользуясь уравнением
(16.4.15) для исключения ф, можно получить уравнение первого порядка, аналогичное (15.1.20):
(А)2 к 8яр фА со (ф)
R2 1 R2 3 ф ФR
f® (16-4-17)
Мы можем вернуться к уравнениям (16.4.13) и (16.4.14), дифференцируя (16.4.17), и, следовательно, в качестве фундаментальных 664
Гл. Jtt>. Космология: иные модели
уравнений космологии Бранса — Дикке можно взять уравнения (16.4.15) — (16.4.17) плюс уравнение состояния, определяющее р как функцию р. Кроме того, из уравнения (9.9.11) видно, что гравитационная «постоянная», измеренная по наблюдениям медленно движущихся частиц или в экспериментах по замедлению времени, равна
М-Ш^ (16-4Л8)
При любом данном уравнении состояния р = р (р) уравнения (16.4.15) — (16.4.17) можно рассматривать как систему из одного дифференциального уравнения второго порядка и двух уравнений первого порядка для трех переменных R, ф и р. Отсюда следует, что эти уравнения определяют R (t), ф (t) и р (t) при всех t, если нам известны постоянные со и к и нынешние значения четырех
переменных, скажем R0, R0, ф0 и р0. Это несколько неожиданно, поскольку в модели Фридмана, чтобы вычислить R (t) и р (t) при всех t [см. (15.2.1)], нам нужно было задать начальные данные
для двух величин, скажем R0, R0 и. конечно, постоянную G.
Первоначально Бране и Дикке [35] исключали эту лишнюю степень свободы наложением дополнительного ограничения в окрестности начальной сингулярности, где R = 0:
фИ3 0 при R 0. (16.4.19)
При этом начальном условии и при заданных со, к и уравнении состояния мы можем получить решение для R (t), р (t) и ф (t), задавая только три параметра настоящего момента времени,
например R0, R0 и ф0 или более употребительные H0, G0 и q0 (или Po).
Несколько лет назад Дикке [36] г) высказал мысль, что, возможно, нужными решениями в действительности являются как раз те, которые не подчиняются ограничению (16.4.19). Вообще-говоря, все решения имеют сингулярность с R = 0 в конечный момент времени, который мы, как обычно, принимаем за t = 0, тогда решение уравнения (16.4.15) имеет
t
Ф W Д3 (0 =-5?- J [р {Ґ)~3р {t')] R3 {п dt'~C' (16-4-20>
о
где С — постоянная интегрирования, которая может быть положительной, отрицательной или нулем. При C = 0 мы имеем трех-параметрическое семейство моделей, удовлетворяющих условию-
В этой работе Дикке использует модификацию теории Бранса — Дикке [37]; подход, более близкий к излагаемому здесь, см. в 138]. § 4. Модели с переменной гравитационной постоянной 665
(16.4.19). При С Ф О мы получаем четырехпараметрическое семейство решений: четвертый параметр нужен для фиксирования значения С.
Эти решения обладают довольно тонкими свойствами, и нам будет полезно изучить подробнее тот случай, когда уравнения (І6.4.15) — (16.4.17) могут быть решены аналитически, а именно случай нулевого давления и нулевой кривизны
P= 0, A = O.
Тогда из (16.4.16) следует, что
р ~ R-3, (16.4.21)
и пз уравнения (16.4.20) немедленно получаем
где
Оказывается весьма удобным ввести новую зависимую переменную
Выражая в уравнении (16.4.17) р и ф/ф через и и положив A = 0, можно сразу же получить решение для R/R:
ItiiA= _u± (i+^)l'V + 4u)1/2. (!б-4-25)
Кроме того, из (16.4.21) и логарифмической производной (16.4.22) следует, что
1=-4+2 (t-tcr-±
или, после использования (16.4.24) и (16.4.25),
(t—tc) u = i-u{u + 4 + 3( )1/2 (u2 + 4 u)lh } . (16.4.26)
Интегрированием этого уравнения первого порядка находим и (t), а затем можно проинтегрировать уравнения (16.4.24), (16.4.25) и определить ф (г) и R (t).
Один очевидный класс решений уравнения (16.4.26) составляют решения с постоянным и, равным одному из нулей выражения в правой части (16.4.26). Чтобы найти такой нуль с и > 0, следует взять верхний знак перед квадратным корнем в (16.4.25) и (16.4.26); тогда искомое решение равно
2 (16.4 27)
' 3u)+ 4" 666
Гл. Jtt>. Космология: иные модели
Для этого решения следует положить Zc = 0, поскольку в противном случае из уравнения (16.4.25) следовало бы, что R = 0 только при t = tc, а мы договорились установить часы так, чтобы эта сингулярность имела место при Z = O. При Zc = 0 получаем следующие решения уравнений (16.4.24) и (16.4.25) [35]:
ф ~ t2/(l+3a\ (16.4.28)
R ~ i(2®+2)/(3«D+4)j (16.4.29)
(16.4.30)
ф (Зш + 4) 4 '
При Zc 0 необходимо анализировать, как движется и в уравнении (16.4.26) между сингулярными точками U = 0, и = = 2/(Зш + 4) и и = оо. Результаты критическим образом зависят от того, какого знака Zc.
te > 0. В этом случае и монотонно падает от и = оо при Z = O до и = 0 при Z = Z0 и затем монотонно растет к значению (16.4.27) при Z->- оо. Знак перед квадратным корнем в (16.4.25) и (16.4.26) в точке Zc меняется с нижнего для Z <; Zc на верхний при Z > Zc. Решения уравнения (16.4.26) таким образом имеют вид
